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Productos Notables

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Productos Notables

Al resultado de una multiplicación, como sabemos se le llama producto. Luego, un producto notable es el resultado de una multiplicación con características específicas, o notables.

Al identificar estas características es posible obtener el producto sin necesidad de hacer la multiplicación de la forma acostumbrada.

De los productos notables sobresalen los siguientes casos:

  1. Forma (a+b)2 o (a-b)2 Binomio al cuadrado.
  2. Forma (a+b) (a-b) Producto de la suma de dos cantidades por la diferencia de las mismas.
  3. Forma (a+b+c)2 Trinomio al cuadrado.
  4. Forma (a+b) (a+c) Producto de dos binomios con un término común.
  5. Forma (a+b)3 Binomio al cubo.

 

 

 

FORMA 1 “BINOMIO AL CUADRADO”

Proceso para resolver:

Ejemplo 1: (3x4+6y)2

 

  1. Se toma el coeficiente del primer término, en este caso el 3 y se eleva al cuadrado. El resultado de (3)(3) = 9.
  2. Se toma el exponente del primer término, en este caso es 4, y se multiplica por 2. (4)(2) = 8.
  3. Se toma el signo entre ambos términos (+).
  4. Enseguida se toma el primer término (3x4), se multiplica por el segundo (6y) y luego el resultado (18x4y) se multiplica por 2 = 36x4y.
  5. Se toma el signo que resulte de multiplicar ambos términos (+) (+) = +.
  6. Se toma el coeficiente del segundo término, en este caso el 6 y se eleva al cuadrado. El resultado de (6)(6) = 36.
  7. Se toma el exponente del segundo término, en este caso es 1, y se multiplica por 2. (1)(2) = 2.
  8. Finalmente hacemos la expresión algebraica: 9x8+36x4y+36y2.

 

EJERCICIOS PROPUESTOS

  1. (x+y)2
  2. (3x+2y)2
  3. (2x4+4y3)2

Video recomendado:

https://www.youtube.com/watch?v=fDAvbIYS87I

 

 

FORMA 2 “PRODUCTO DE LA SUMA DE 2 CANTIDADES POR LA DIFERENCIA DE LAS MISMAS”

Proceso para resolver:

Ejemplo 1: (3x4+6y) (3x4-6y)

 

  1. Se toma el primer término del primer binomio (3x4), luego se multiplica por el primer término del segundo binomio (3x4) = 9x8, (teniendo en cuenta que, en una multiplicación, los exponentes se suman).
  2. Enseguida tomamos el signo que resulte de multiplicar el de ambos binomios. (+)(-) = (-)
  3. Finalmente se toma el segundo término del primer binomio (6y), luego se multiplica por el segundo término del segundo binomio (6y) = 36y2.
  4. Obtenemos la expresión: 9x8-36y2.

 

EJERCICIOS PROPUESTOS

 

  1. (4x-2) (4x+2)
  2. (3x3+2y) (3x3-2y)
  3. (2x5+6y) (2x5-6y)

 

 

FORMA 3 “TRINOMIO AL CUADRADO”

Proceso para resolver:

Ejemplo 1: (3x4+6y2-4z)2

 

  1. Se toma el primer término del trinomio (+3x4), y se eleva al cuadrado = 9x8
  2. luego se eleva al cuadrado el segundo término (+6y2) = 36y4.
  3. Luego elevamos el tercero al cuadrado (-4z) = +16z2.
  4. Enseguida tomamos el primer y el segundo término, y los multiplicamos: (+3x4) (+6y2) = 18x4y2. Luego multiplicamos el resultado por 2 = 36x4y2.
  5. Luego tomamos el primer término nuevamente y lo multiplicamos por el tercero: (+3x4) (-4z) = -12 x4z. Luego multiplicamos el resultado por 2 =-24 x4z
  6. Finalmente multiplicamos el segundo termino con el tercero: (+6y2) (-4z) = -24y2z. Luego multiplicamos el resultado por 2 = -48y2z.
  7. Obtenemos la expresión:

9x8+36y4+16z2+36x4y2-24x4z-48y2z.

 

 

 

EJERCICIOS PROPUESTOS

  1. (x4+y2-z)2
  2. (4x3+2y3-8z2)2
  3. (5x5+4y4-3z)2

 

Video recomendado:

https://www.youtube.com/watch?v=YQx4QwzDosI

 

 

FORMA 4 “PRODUCTO DE DOS BINOMIOS CON UN TERMINO EN COMUN”

Proceso para resolver:

Ejemplo 1: (x+6) (x-7)

 

  1. Primero se toma el primer término del primer binomio (x) y se multiplica por el primer término del segundo binomio (x) = x2.
  2. Enseguida multiplicamos el primer término del primer binomio (x) por la suma del segundo término del primer binomio y el segundo término del segundo binomio (+6-7) = x (-1) = -x.
  3. Finalmente se multiplican los segundos términos de los binomios (6) (7) = +42.
  4. Obtenemos la expresión: x2-x+42

 

EJERCICIOS PROPUESTOS

 

  1. (x-4) (x+3)
  2. (x2+6) (x2-7)
  3. (x+8) (x-2)

Video recomendado:

https://www.youtube.com/watch?v=MmvCcHMYJoQ

 

 

FORMA 5 “BINOMIO AL CUBO”

Proceso para resolver:

Ejemplo 1: (2m+3b)3

 

  1. Primero tomamos el primer término del binomio (2m) y lo elevamos al cubo = 8m3.
  2. Enseguida elevamos al cuadrado el primer término (2m) = 4m2, y multiplicamos el resultado por el segundo término (3b) = 12bm2. Finalmente multiplicamos el resultado por 3 = +36bm2.
  3. Luego elevamos al cuadrado el segundo término (3b) = 9b2, y multiplicamos el resultado por el primer término (2m) = 18b2m. Finalmente multiplicamos el resultado por 3 = +54b2m.
  4. Finalmente elevamos al cubo el segundo término (3b) = 27b3.
  5. Obtenemos como resultado la expresión: 8m3+36bm2+54b2m+27b3.

 

       EJERCICIOS PROPUESTOS

 

  1. (4x+5y)3
  2. (2m4+2b)3
  3. (7m3+5b2)3

Video recomendado:

https://www.youtube.com/watch?v=8Ncm_ZsPrmQ 

Ecuaciones Lineales

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 ECUACIONES LINEALES

Subtemas:

1.- con una incógnita.

2.-con dos y tres incógnitas.

 

Ecuaciones lineales:

Una ecuación en la que el mayor exponente de la o las incógnitas es 1 es una ecuación de primer grado o ecuación lineal. Si el mayor exponente es 2 entonces es una ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática

 

Resolver un sistema de ecuaciones consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables que satisfacen todas las ecuaciones. Usaremos diferentes métodos para resolver este tipo de ecuaciones.

 

 

 

Método de sustitución

Paso 1.- Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones.

Paso 2.- Se sustituye la expresión de esta incógnita en la otra ecuación, obteniendo una ecuación con una sola incógnita.

Paso 3.- Se resuelve la ecuación.

Paso 4.- El valor obtenido se sustituye en la ecuación en la que aparecía la incógnita despejada.

Paso 5.- Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.

Ejemplo

3X - 4Y= -6

2X + 4Y=16

1.- Despejamos una de las incógnitas en una de las dos ecuaciones. Elegimos la incógnita que tenga el coeficiente más bajo.

2X = 16 – 4Y                                                   X= 8 – 2Y

2.- Sustituimos en la otra ecuación la variable x, por el valor anterior:

3 (8 - 2Y) – 4Y= -6

3.- Resolvemos la ecuación obtenida:

24 – 6Y – 4Y = -6                                        -10Y= -30                                    Y=3

4.- Sustituimos el valor obtenido en la variable despejada.

X = 8 - 2.3 = 8 - 6                                                X = 2

5.- Solución

X = 2           Y = 3

 

 

Método de igualación

Paso 1.- Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones.

Paso 2.- Se igualan las expresiones, con lo que obtenemos una ecuación con una incógnita.

Paso 3.- Se resuelve la ecuación.

Paso 4.- El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresiones en las que aparecía despejada la otra incógnita.

Paso 5.- Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.

Ejemplo

3X – 4Y = - 6

2X + 4Y = 16

1.- Despejamos, por ejemplo, la incógnita x de la primera y segunda ecuación:

3X = - 6 + 4Y                                            X = - 6 + 4Y / 3

2X = 16 – 4Y                                            X = 16 – 4Y / 2

2.- Igualamos ambas expresiones:

- 6 + 4Y / 3 = 16 – 4Y / 2

3.- Resolvemos la ecuación:

2 ( -6 + 4Y) = 3 (16 – 4Y)                                            -12 + 8Y = 48 - 12Y

8Y + 12Y = 48 + 12                                    20Y = 60                                     Y= 3

4.- Sustituimos el valor de y, en una de las dos expresiones en las que tenemos despejada la x:

X = - 6 + 4.3 / 3 = -6 + 12 / 3                                   X = 2

5.- Solución:

X = 2                     Y= 3

 

 

 

Método de reducción

Paso 1.- Se preparan las dos ecuaciones, multiplicándolas por los números que convenga.

Paso 2.-  La restamos, y desaparece una de las incógnitas.

Paso 3.-  Se resuelve la ecuación resultante.

Paso 4.-  El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iniciales y se resuelve.

Paso 5.- Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.

Ejemplo

3X – 4Y= -6

2X + 4Y = 16

Lo más fácil es suprimir la y, de este modo no tendríamos que preparar las ecuaciones; pero vamos a optar por suprimir la x, para que veamos mejor el proceso.

3X – 4Y= -6 (2X) = 6X – 8Y = -12

2X + 4Y = 16 (X(-3)) = -6X - 12Y = -48

Restamos y resolvemos la ecuación:

6X – 8Y = -12

- 6X – 12Y = - 48

         - 20Y= - 60

Y= 3

Sustituimos el valor de y en la segunda ecuación inicial.

2X + 4.3 = 16                                2X + 12 =16                                   2X= 4                            X= 2

Solución:

X= 2        Y= 3

 

 

 

Ejercicios de practicas 

A) 5X + 6Y= 39,     4X + Y=8

B) 9X – 2Y=3,        8X + 5Y=23

 

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