Derivada de Funciones Implícitas

La derivada implícita de una función implícita se obtiene derivando la función, después de despejar la variable y, que es la que se considera variable dependiente (a esta derivada la llamaremos y’), considerando que es función de x.

Al derivar implícitamente se considera x como la variable independiente mientras que a y se le considera una función.

El proceso de derivación implícita consiste en obtener la derivada de una función respecto a la variable x. Para ello hay que tomar la variable y como una función de x (se considera y = f(x)). La derivada de esta última función será y’.

1. Diferencie la ecuación implícita con respecto a x tal como lo hace para una función explícita. Si la ecuación contiene términos de y o cualquier otra variable elevada a la potencia de y, entonces primero multiplique la ecuación con dy / dx. 2. Mueva los términos con dy / dx como sus coeficientes a un lado de la ecuación y el resto de los términos hacia el otro lado de la ecuación. 3. Ahora, extraiga el valor de dy / dx y resolverlo.

Función implícita a aquella función dada mediante una expresión en la que la variable dependiente y no aparece despejada. Dicho de otra manera, aquella función que se expresa mediante una igualdad en la forma:

Gráficamente, se pude considerar una función implícita como un caso particular de una función de dos variables f(x,y)=z en el que z siempre vale 0. Observa la gráfica en 1. Se trata de una función de dos variables (x e y). En ella se asigna un número real z0 (una altura de la curva) a cada punto (x0, y0) del plano OXY que pertenezca al dominio. Como se aprecia en 2, si forzamos z=0 obtendríamos una función "pegada" al plano OXY, es decir, una función de una sola variable que quedaría representada dos dimensiones.

Las derivadas parciales permiten obtener en muchas ocasiones con más sencillez la derivación implícita. Se obtiene el mismo resultado en derivación implícita mediante derivadas parciales, con la siguiente fórmula que facilita y simplifica el cálculo:

No todas las ecuaciones de dos variables son funciones implícitas. Para determinarlo podemos usar el teorema de la función implícita. Aunque queda fuera de los alcances de este nivel, por ahora te basta saber que si el teorema se verifica en una ecuación determinada f(x,y)=0, entonces a partir de ella podrás despejar una de las variables en función de la otra, en la forma y=f(x).

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