Matrices y determinantes

Matrices
1. Arreglos rectangulares de números que tiene filas y columnas
  1. Tipos de matrices
    1. Matriz cuadrada
      1. Tiene el mismo numero de filas que de columnas
    2. Matriz diagonal
      1. Todos sus elementos son ceros excepto en la diagonal principal
    3. Matriz identidad
      1. Es una matriz cuadrada que todos sus elementos son ceros, excepto en la diagonal principal que son unos
    4. Matriz transpuesta
      1. La matriz transpuesta de una matriz se obtiene cambiando sus filas por sus columnas
    5. Matriz nula
      1. Todos los elementos de la matriz son ceros
  2. Operaciones con matrices
    1. Suma y resta
      1. Se puede efectuar entre matrices de igual tamaño aplicando suma y resta entre los elementos correspondientes
    2. Producto
      1. Se puede efectuar si el número de columnas de la primera matriz es igual al número de filas de la segunda
        Se realiza sumando los productos parciales entre las filas y las columnas
      2. Producto de un escalar por una matriz
      3. Se puede definir como un producto punto
    3. Sistemas de ecuaciones lineales
      1. Matriz escalonada reducida por filas
        Debe cumplir las siguientes condiciones
        1. Si la matriz tiene una o mas filas de ceros, estas deben encontrarse al final de las filas
        2. El primer elemento distinto de cero al leer de izquierda a derecha debe ser el uno, al que se le denomina uno principal
        3. El uno principal debe encontrarse abajo y a la derecha del uno principal de la fila anterior
        4. En la columna del uno principal el resto de elementos debe ser cero
        Toda matriz identidad es una matriz escalonada reducida por filas
        Si solo cumple las primeras 3 condiciones es una matriz escalonada por filas
      2. Solución
        Un sistemas de ecuaciones lineales puede tener una única solución, infinitas soluciones o ninguna solución
        Métodos
        Gauss
        En este método la matriz ampliada (A|b) se reduce a una matriz escalonada reducida por filas
        Gauss-Jordan
        La matriz se reduce a una escalonada por filas
        Descomposición L. U.
        Para hallar la matriz U se pueden utilizar operaciones elementales para convertir en ceros los elementos inferiores a la diagonal principal, y para la matriz L se hace una matriz identidad excepto que los elementos que se encuentran abajo de de la diagonal principal son reemplazados por los coeficientes usados en la obtención de la matriz U
        Se debe realizar el cambio de variables usando la matriz L para obtener una solución inicial y luego con la matriz U se puede acabar de resolver el sistema
        A*X=b
        L*Z=b U*X=Z
  3. Matriz inversa
    1. Una matriz es invertible si existe otra de igual tamaño que al multiplicar a la primera el producto sea una matriz identidad
      1. No toda matriz en invertible
      2. Cálculo de matriz inversa
        Para obtener la matriz inversa de una matriz se le debe aumentar la matriz identidad y mediante operaciones elementales se debe transformar la primera matriz en la matriz identidad y el resultado que quede del lado derecho será la inversa
      3. Matriz binaria
        Compuesta por ceros y unos
    2. Matriz aumentada
      1. Es aquella a la que se aumentan nuevos elementos o matrices
Determinantes
1. Un número escalar obtenido mediante una función determinante
2. Permutaciones
  1. Si el conjunto de elementos ordenados de forma ascendente S=(1,2,3...,n) las permutaciones son reordenamientos de S teniendo en total n! permutaciones
3. Propiedades del determinante
  1. El determinante de una matriz transpuesta tiene el mismo valor que el determinante de la matriz original
  2. Si se obtiene una matriz B intercambiando filas o columnasde una matriz A entonces el determinante de A es igual a menos determinante de B (det(A)= -det(B))
  3. Si una matriz cuadrada tiene filas o columnas de ceros entonces el determinante es cero
  4. Si una matriz tiene 2 filas o columnas iguales, el determinante es cero
  5. Si se obtiene una matriz B multiplicando cada columna por un número real a una matriz B conocida, entonces el determinante de B es igual al de A

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