Apuntes de Geometría del espacio

Geometría del espacio

Rama de la geometría que se ocupa de las propiedades y medidas de figuras geométricas en el espacio tridimensional. Entre estas figuras, también llamadas sólidos, se encuentran el cono, el cubo, el cilindro, la pirámide, la esfera y el prisma. La geometría del espacio amplía y refuerza las proposiciones de la geometría plana, y es la base fundamental de la trigonometría esférica, la geometría analítica del espacio, la geometría descriptiva y otras ramas de las matemáticas. Se usa ampliamente en matemáticas, en ingeniería y en ciencias naturales. Nociones preliminares Punto: Es la marca que deja un lápiz sobre una hoja, la intersección de dos rectas, etc. Plano: Una porción de espacio. Recta: Línea que pasa por dos puntos cualesquiera. Espacio El espacio es el conjunto de puntos en el cual hay algunos subconjuntos llamados rectas y otros subconjuntos llamados planos. Características de los subconjuntos llamados rectas Dos puntos determinan una recta y solo una. Por un punto pasan infinitas rectas. El conjunto de puntos de una recta se puede poner en correspondencia biunívoca con el conjunto de los números reales, de manera que se conserva el orden. Si dos rectas tienen dos puntos en común son coincidentes. Características de los subconjuntos llamados planos Por tres puntos del espacio, no situados en línea recta, pasa un plano y solo uno. si dos planos tienen un punto en común, entonces tienen una recta común que contiene a ese punto (recta de intersección). Si una recta tiene dos puntos en un plano, entonces están contenida en dicho plano. Plano Un plano está determinado por: Tres puntos no alineados. Dos rectas que se cortan determinan un plano y solo uno. Dos rectas paralelas. Una recta y un punto exterior a esta. Rectas y planos Una recta y un plano son paralelas si no se intersecan. Una recta es paralela a un plano si es paralela a una recta contenida en dicho plano (Criterio de paralelismo de recta y plano). Se dice que una recta interseca a un plano si tiene un punto común con el plano, entonces pueden ocurrir dos cosas. La recta es perpendicular a todas las rectas del plano que pasan por su punto de intersección. La recta es perpendicular, al menos, a una de las rectas que pasan por su punto de intersección. Rectas en el espacio Dos rectas en el espacio son paralelas si y solo si están contenidas en un plano, y son paralelas en ese plano. Dos rectas en el espacio pueden no ser paralelas y no cortarse; en general, son posibles las relaciones siguientes: Las rectas están en un plano y entonces se cortan, o son paralelas. Las rectas no están en un plano y entonces no se cortan. En este caso se dice que se cruzan o que son alabeadas. Criterio de perpendicularidad de recta y plano Si una recta perpendicular a dos rectas de un plano que se cortan en su pie, entonces es perpendicular al plano. Criterio de paralelismo de recta y plano Una recta es paralela a un plano si es paralela a una recta contenida en dicho plano. Distancia de un punto a un plano Si desde un punto se traza una perpendicular y varias oblicuas a un plano, la perpendicular es menor que las oblicuas. Llamaremos distancia de un punto a un plano a la longitud del segmento de perpendicular comprendido entre el punto y el plano. Proyección de una oblicua y ángulo entre una oblicua y un plano Llamamos proyección de una oblicua AB sobre un plano α, al segmento A’B que une el pie de la oblicua con el pie de la perpendicular bajada desde el mismo punto A al plano α. Llamamos ángulo entre una oblicua AB y un plano α, al ángulo ∂ formado por la oblicua y su proyección sobre el α.   Fuentes: Campistrous Pérez, Luis. [et al]. Matemática. Duodécimo grado. Parte I. Editorial Pueblo y Educación. 1991. –p 108 – 111. Sandoval Torres, Armando. [et al]. Matemática. V Semestre. Curso de superación integral para jóvenes. Editorial Pueblo y Educación. 2008. –p111 – 115.