POLIEDROS
En el libro Cuarto reanuda lo abandonado en el segundo: trata de la geometría de cuerpos tridimensionales o estereometría, campo descuidado por completo durante la Edad Media. Al principio, Durero examina los cinco sólidos regulares o “platónicos”. Si Durero conocía o no el trabajo de los dos especialistas italianos en esta materia (Luca Pacioli y Piero della Francesca) no está determinado, pero aborda el problema (al igual que hace con las secciones cónicas) de una forma completamente independiente. Además de estudiar varios sólidos de su propia invención, uno de ellos está compuesto por ocho dodecágonos, veinticuatro triángulos isósceles y ocho triángulos equiláteros. En vez de representar estas imágenes en perspectiva, ideó el método (aparentemente original) prototológico de desarrollarlas en la superficie plana, de tal manera que las facetas formen una “red” coherente que, al ser recortada en papel y doblada por donde dos facetas se unen, se forme un verdadero modelo tridimensional del sólido en cuestión. Para Durero, los poliedros regulares son sólidos cuyos vértices están situados sobre una superficie esférica y cuyas caras, ángulos y lados son iguales. Sabe que Euclides los había llamado “corpora regularia” y que no había más de cinco. A comienzos del siglo XVI, estos poliedros eran conocidos a través del Timeo de Platón y del Libro XIII de los Elementos de Euclides. En el Underweysung, cada uno de los cuerpos está representado por dos proyecciones ortogonales sobre los planos horizontal y vertical y por su desarrollo en un plano. Durero para la descripción de los siete cuerpos arquimédicos se propone presentar cuerpos sólidos “que son tangentes con todos sus vértices a una esfera hueca, aunque tienen caras desiguales”. Pappus, en su “Collectionis quae supersunt” había dado la lista de los trece poliedros semirregulares, atribuyendo su descubrimiento a Arquímedes. Para cada sólido, había indicado el número f de caras, el número a de aristas y el número s de vértices, sin acompañar su descripción con figuras. En la época de Durero, la Colección no existía más que en forma de manuscrito y no había sido posible establecer la presencia de tal manuscrito en los fondos de Nüremberg. El tratamiento de Durero respecto a los poliedros semirregulares difiere del de Piero y Fra Luca. Piero describe cinco cuerpos obtenidos por truncamiento de los ángulos de los cinco cuerpos platónicos y Pacioli deduce de cada uno de los cinco poliedros regulares el cuerpo truncado y el cuerpo sobrealzado obtenido añadiendo una pirámide sobre cada una de las caras y después representa en perspectiva los cuerpos, primero macizos y después vaciados, sobre figuras realizadas por Leonardo da Vinci. Pero a Durero lo que le importa es poder construir los sólidos fácilmente por medio de cartón, cola y tijeras.

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