CONCEPTOS BASICOS DE ALGEBRA

Productos Notables

Existen algunas respuestas características para algunos casos en los que debemos multiplicar, estos son los productos notables. Los principales son:

a) Cuadrado de la suma de dos cantidades:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

El cuadrado de la suma de dos términos es igual al cuadrado del primer término más el doble producto de ambos términos más el cuadrado del segundo término.

Por ejemplo: (5x +7)2 = (5x)2 + 2(5x)(7) + (7)2

El cuadrado del primer término es: (5x1)2 = 25x2
El doble producto de ambos términos es: 2(5x)(7) = 70x
El cuadrado del segundo término es: (7)2 = 49

Finalmente la respuesta será: (5x +7)2 = 25x2 + 70x + 49

b) Cuadrado de la diferencia de dos cantidades:

(a - b)2 = a2 - 2ab + b2

El cuadrado de la diferencia de dos términos es igual al cuadrado del primer término menos el doble producto de ambos términos más el cuadrado del segundo término.

Por ejemplo: (5x -7)2 = (5x)2 - 2(5x)(7) + (7)2

El cuadrado del primer término es: (5x1)2 = 25x2
El doble producto de ambos términos es: 2(5x)(7) = 70x
El cuadrado del segundo término es: (7)2 = 49

Finalmente la respuesta será: (5x -7)2 = 25x2 - 70x + 49

c) Diferencia de Cuadrados:

La suma de dos términos multiplicada por su diferencia es igual al cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo término.

Por ejemplo: (4a +7y3)(4a -7y3) = (4a)2 - (7y3)2

El cuadrado del primer término es: (4a1)2 = 16a2
El cuadrado del segundo término es: (7y3)2 = 49y6

Finalmente la respuesta será: (4a +7y3)(4a -7y3) = 16a2 - 49y6

d) Cubo de la suma de dos cantidades:

El cubo de la suma de dos términos es igual al cubo del primer término más el triple del cuadrado del primer término por el segundo término más el triple del primer término por el cuadrado del segundo término más el cubo del segundo término.

Por ejemplo: (2a + 4b)3 = (2a)3 +3(2a)2(4b) +3(2a)(4b)2 + (4b)3
El cubo del primer término es: (2a1)3 = 8a3
El triple del cuadrado del primer término por el segundo término: 3(2a1)2(4b) = 48a2b
El triple del primer término por el cuadrado del segundo término: 3(2a)(4b1)2 = 96ab2
El cubo del segundo término es: (4b1)3 = 64b3

Finalmente la respuesta será: (2a + 4b)3 = 8a3 + 48a2b + 96ab2 + 64b3

e) Cubo de la diferencia de dos cantidades:

El cubo de la suma de dos términos es igual al cubo del primer término menos el triple del cuadrado del primer término por el segundo término más el triple del primer término por el cuadrado del segundo término menos el cubo del segundo término.

Por ejemplo: (4a - 2b)3 = (4a)3 -3(4a)2(2b) +3(4a)(2b)2 - (2b)3
El cubo del primer término es: (4a1)3 = 64a3
El triple del cuadrado del primer término por el segundo término: 3(4a1)2(2b) = 96a2b
El triple del primer término por el cuadrado del segundo término: 3(4a)(2b1)2 = 48ab2
El cubo del segundo término es: (2b1)3 = 8b3

Finalmente la respuesta será: (4a - 2b)3 = 64a3 - 96a2b + 48ab2 - 8b3

División de Polinomios

La división de polinomios es, tal vez, la operación más complicada dentro de las expresiones algebraicas. Debemos tener mucho cuidado al resolverlas.

Básicamente tenemos dos casos:

a) División de un polinomio entre un monomio:
En este caso tendremos que dividir cada uno de los términos del polinomio entre el monomio.

Vamos a resolver un ejemplo: (4x2y -2xy2 + 8x3) ÷ 2x

Haremos: 4x2y ÷ 2x1 = 2x1y
Luego: -2x1y2 ÷ 2x1 = -1y2
Luego: 8x3 ÷ 2x1 = 4x2

Finalmente la respuesta será: 2xy -1y2 + 4x2

a) División de dos polinomios:

En este caso lo mejor es ir directamente a un ejemplo:
(x4 +4x3 +x2 -x) ÷ (x2 + x), mismo que completando los grados seria: (x4 +4x3 +x2 -x1) ÷ (x2 + x1)

Acomodémoslo como una división tradicional:
x4 +4x3 +x2 -x1 ÷ x2 + x1 (seleccionamos el primer término del dividendo y del divisor)

Dividimos los términos seleccionados: x4÷ x2 = x2 (la respuesta será parte del cociente)
Multiplicamos la respuesta por el divisor: x2 (x2 + x) = x4 +x3
A la respuesta le cambiamos el signo: -x4 -x3 (esto se sumara o restara con el divisor)

x4 +4x3 +x2 -x1 ÷ x2 + x1
-x4 -1x3 x2
3x3 +x2 -x1 (seleccionamos el primer término de lo que va quedando y del divisor)

Dividimos los términos seleccionados: 3x3÷ x2 = 3x1 (la respuesta será parte del cociente)
Multiplicamos la respuesta por el divisor: 3x1 (x2 + x) = 3x3 +3x2
A la respuesta le cambiamos el signo: -3x3 -3x2 (esto se sumara o restara con el divisor)

x4 +4x3 +x2 -x1 ÷ x2 + x1
-x4 -1x3 x2 +3x
3x3 +x2 -x1
-3x3 -3x2
-2x2 -x1 (seleccionamos el primer término de lo que va quedando y del divisor)

Dividimos los términos seleccionados: -2x2÷ x2 = -2 (la respuesta será parte del cociente)
Multiplicamos la respuesta por el divisor: -2 (x2 + x) = -2x2 -2x1
A la respuesta le cambiamos el signo: +2x2 +2x1 (esto se sumara o restara con el divisor)

x4 +4x3 +x2 -x1 ÷ x2 + x1
-x4 -1x3 x2 +3x -2 (será el cociente o respuesta)
3x3 +x2 -x1
-3x3 -3x2
-2x2 -x1
+2x2 +2x1
x1 (será el residuo)

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Introduccion y repaso sobre productos notables.