T 46 descuento comercial

Descuentos. Descuento comercial y descuento real. Resolución de los problemas de descuentos. Descuentos únicos y descuentos en serie. Descuentos y facturas. http://www.matematicas-financieras.com/1-3-descuento-simple.html

1.3. Descuento simple

Se denomina así a la operación financiera que tiene por objeto la sustitución de un capital futuro por otro equivalente con vencimiento presente, mediante la aplicación de la ley financiera de descuento simple. Es una operación inversa a la de capitalización.

1.3.1. Características de la operación

Los intereses no son productivos, lo que significa que:

A medida que se generan no se restan del capital de partida para producir (y restar) nuevos intereses en el futuro y, por tanto
Los intereses de cualquier período siempre los genera el mismo capital, al tanto de interés vigente en dicho período.

En una operación de descuento el punto de partida es un capital futuro conocido (Cn) cuyo vencimiento se quiere adelantar. Deberemos conocer las condiciones en las que se quiere hacer esta anticipación: duración de la operación (tiempo que se anticipa el capital futuro) y tanto de interés aplicado.

El capital que resulte de la operación de descuento (capital actual o presente –C0–) será de cuantía menor, siendo la diferencia entre ambos capitales los intereses que el capital futuro deja de tener por anticipar su vencimiento. En definitiva, si trasladar un capital desde el presente al futuro implica añadirle intereses, hacer la operación inversa, anticipar su vencimiento, supondrá la minoración de esa misma carga financiera.

Gráficamente:

Elementos:

D: Descuento o rebaja.
Cn: Valor final o nominal.
C0: Valor actual, inicial o efectivo.
i ó d: Tanto de la operación.

Por tanto, el capital presente (C0) es inferior al capital futuro (Cn), y la diferencia entre ambos es lo que se denomina descuento (D). Se cumple la siguiente expresión:

D = Cn – C0

Además, el descuento, propiamente dicho, no es más que una disminución de intereses que experimenta un capital futuro como consecuencia de adelantar su vencimiento, por lo tanto se calcula como el interés total de un intervalo de tiempo (el que se anticipe el capital futuro). Se cumple:

D = Capital x Tipo x Tiempo

Y, según cuál sea el capital que se considere para el cómputo de los intereses, estaremos ante las dos modalidades de descuento que existen en la práctica:

Descuento racional, matemático o lógico, y
Descuento comercial o bancario.

En todo caso, y cualquiera que sea la modalidad de descuento que se emplee, en este tipo de operaciones el punto de partida es un capital futuro (Cn) (conocido) que se quiere sustituir por un capital presente (C0) (que habrá de calcular), para lo cual será necesario el ahorro de intereses (descuento) que la operación supone.

1.3.2. Descuento racional

El ahorro de intereses se calcula sobre el valor efectivo (C0) empleando un tipo de interés efectivo (i).

Al ser C0 (el capital inicial) aquel que genera los intereses en esta operación, igual que ocurría en la capitalización, resulta válida la fórmula de la capitalización simple, siendo ahora la incógnita el capital inicial (C0).

Así pues, a partir de la capitalización simple se despeja el capital inicial, para posteriormente por diferencias determinar el descuento racional:

Cn = C0 (1 + n x i)

• Cálculo del capital inicial:

Cn
C0 = -------------
1 + n x i

• Cálculo del ahorro de intereses (Dr):

Cn Cn x n x i
Dr = Cn – C0 = Cn – -------------- = --------------
1 + n x i 1 + n x i

De otra forma:

Cn Cn x n x i
Dr = C0 x i x n = --------------- x i x n = -----------------
1 + n x i 1 + n x i 1.3.3. Descuento comercial

Los intereses generados en la operación se calculan sobre el nominal (Cn) empleando un tipo de descuento (d).

En este caso resulta más interesante calcular primero el descuento (Dc) y posteriormente el capital inicial (C0).

Como el descuento es la suma de los intereses generados en cada uno de los períodos descontados (n), y en cada período tanto el capital considerado para calcular los intereses como el propio tanto se mantiene constante, resulta:

Dc = Cn x d + Cn x d + … + Cn x d = Cn x n x d

n veces

El capital inicial se obtiene por diferencia entre el capital final (Cn) y el descuento (Dc):

C0 = Cn – Dc = Cn – Cn x n x d = Cn x (1 – n x d)

C0 = Cn x (1 – n x d)

EJEMPLO 9

Se pretende anticipar al momento actual el vencimiento de un capital de 100 euros con vencimiento dentro de 3 años a un tanto anual del 10%. Calcular el capital inicial y el descuento de la operación.

Caso 1:

Considerando que el capital sobre el que se calculan los intereses es el inicial (descuento racional):

100
C0 = ---------------- = 76,92 €
1 + 3 x 0,1 Dr = 100 – 76,92 = 23,08 €

o bien:

Dr = 76,92 x 0,1 x 3 = 23,08 €

Caso 2:

Considerando que el capital sobre el que se calculan los intereses es el nominal (descuento comercial):

Dc = 100 x 0,1 x 3 = 30 € C0 = 100 – 30 = 70 €

o bien:

C0 = 100 x (1 – 3 x 0,1) = 70 €

1.3.4. Tanto de interés y de descuento equivalentes

Si el tipo de interés (i) aplicado en el descuento racional coincide en número con el tipo de descuento (d) empleado para el descuento comercial, el resultado no sería el mismo porque estamos trabajando sobre capitales diferentes para el cómputo del cálculo de intereses; de forma que siempre el descuento comercial será mayor al descuento racional (Dc> Dr) –como ocurre en el ejemplo 9.

No obstante resulta interesante, para poder hacer comparaciones, buscar una relación entre tipos de interés y de descuento que haga que resulte indiferente una modalidad u otra. Será necesario, por tanto, encontrar un tanto de descuento equivalente a uno de interés, para lo cual obligaremos a que se cumpla la igualdad entre ambas modalidades de descuentos: Dr = Dc.

Sustituyendo los dos descuentos por las expresiones obtenidas anteriormente:

Cn x n x i
------------- = Cn x n x d
1 + n x i

Y simplificando, dividiendo por Cn x n:

i
------------ = d
1 + n x i

Obteniéndose el tanto de descuento comercial d equivalente al tanto i:

i
d = -------------
1 + n x i

Análogamente, conocido d se podrá calcular el tanto i:

d
i = --------------
1 – n x d

La relación de equivalencia entre tipos de interés y descuento, en régimen de simple, es una función temporal, es decir, que un tanto de descuento es equivalente a tantos tipos de interés como valores tome la duración (n) de la operación y al revés (no hay una relación de equivalencia única entre un i y un d).

EJEMPLO 10

En el ejemplo 9 si consideramos que el tanto de interés es del 10% anual. ¿Qué tipo de descuento anual deberá aplicarse para que ambos tipos de descuento resulten equivalentes?

Si i = 10%

Entonces se ha de cumplir:

0,1
d = ---------------- = 0,076923 = 7,6923%
1 + 3 x 0,1

Comprobación:

Calculando el valor actual y el descuento considerando un tipo de interés del 10% (descuento racional):

100
C0 = ---------------- = 76,92 €
1 + 3 x 0,1 Dr = 100 – 76,92 = 23,08 €

Calculando el valor actual y el descuento considerando el tipo de descuento antes calculado del 7,6923% (descuento comercial):

Dc = 100 x 0,076923 x 3 = 23,08 € C0 = 100 – 23,08 = 76,92 €

o bien:

C0 = 100 (1 – 0,076923 x 3) = 76,92 €

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Matemáticas FInancieras Note on Tema 46 - Descuentos, created by amaibasterre on 11/21/2013.

Tema 46 - Descuentos