Flo Lindenbauer
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Indexschreibweise, Vektorräume, Tensoren, Metrik, Distributionen, folgt lose dem Skriptum "Mathematical Methods of Theoretical Physics": https://arxiv.org/abs/1203.4558

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Flo Lindenbauer
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Mathematische Methoden der Theoretischen Physik

Question 1 of 21

1

Welche(r) Wert(e) können für a eingesetzt werden, damit P ein Projektor ist?
\(\mathbf P=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&0&0\\0&0&a\end{pmatrix}\)

Select one or more of the following:

  • -1

  • 0

  • 1

  • 2

  • -2

Explanation

Question 2 of 21

1

Welche dieser Transformationen ist eine Isometrie?

Select one or more of the following:

  • Unitäre Transformation

  • Orthonormale Transformation

  • Lineare Transformation

Explanation

Question 3 of 21

1

Wenn eine unitäre Matrix nur reelle Einträge hat, nennt man sie

Select one of the following:

  • orthonormal

  • linear

  • selbstadjungiert

  • symmetrisch

Explanation

Question 4 of 21

1

Welche dieser Transformationen sind normal?

Select one or more of the following:

  • Unitäre Transformationen

  • Orthonormale Transformationen

  • Selbstadjungierte Transformationen

  • Lineare Transformationen

  • Transformationen, die durch symmetrische Matrizen dargestellt werden

Explanation

Question 5 of 21

1

Fill the blank space to complete the text.

Eine Transformation, die mit ihrer adjungierten kommutiert, nennt man .

Explanation

Question 6 of 21

1

Für welche Operatoren gilt der Spektralsatz?

Select one or more of the following:

  • normale

  • selbstadjungierte

  • lineare

  • Hermitesche

  • Orthonormale

Explanation

Question 7 of 21

1

Einen selbstadjungierten Operator nennt man auch

Select one or more of the following:

  • hermitisch

  • orthogonal

  • komplex

  • linear

  • symmetrisch

Explanation

Question 8 of 21

1

Ein linearer Operator A habe bezüglich der Basis B die Gestalt \begin{pmatrix} 1 & 1\\0&1\end{pmatrix}
Aussage: Auf den Operator A ist der Spektralsatz anwendbar, das heißt, er kann diagonalisiert werden und in seiner Eigenbasis dargestellt werden.

Select one of the following:

  • True
  • False

Explanation

Question 9 of 21

1

Die Projektoren zu den Eigenvektoren eines selbstadjungierten Operators A seien \( E_i\).

Aussage: Es gilt: \(\mathbb{1}=\sum_{i=1}^n \lambda_i E_i\)

Select one of the following:

  • True
  • False

Explanation

Question 10 of 21

1

Was trifft auf den metrischen Tensor zu?

Select one or more of the following:

  • Er ist symmetrisch

  • Er ist antisymmetrisch

  • Seine Diagonalelemente sind ungleich 0

  • In einem Orthonormalsystem sind seine Elemente entweder 0 oder 1

  • Man erhält das ij-te Element des metrischen Tensors, indem man das Skalarprodukt des j-ten Basisvektors mit dem i-ten Basisvektor bildet

Explanation

Question 11 of 21

1

Aussage:
Die Grassmann-Identität lautet:
\(\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{klm}=\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl}\)

Select one of the following:

  • True
  • False

Explanation

Question 12 of 21

1

Aussage:
Sei F eine Distribution und \(\varphi\) eine geeignete Testfunktion.
Es gilt: \(F'[\varphi]=(-1)^nF[\frac{d^n}{dx^n}\varphi]\)

Select one of the following:

  • True
  • False

Explanation

Question 13 of 21

1

Die Funktion \(\varphi(x)=e^{-\pi x^2}\) ist eine geeignete Testfunktion für temperierte Distributionen.

Select one of the following:

  • True
  • False

Explanation

Question 14 of 21

1

Eine Distribution ist ein lineares Funktional auf eine Testfunktion. Man kann daher sagen, dass Distributionen Elemente des Dualraums zum Raum der Testfunktionen sind.

Select one of the following:

  • True
  • False

Explanation

Question 15 of 21

1

Was ergibt die Deltadistribution angewandt auf eine geeignete Testfunktion?
\(\delta[\varphi]=?\)

Select one of the following:

  • Delta an der Stelle 0

  • Phi an der Stelle 0

  • Den Wert der Ableitung von Phi an der Stelle 0

  • Die Fouriertransformierte von Phi an der STelle 0

Explanation

Question 16 of 21

1

Behauptung:
Die folgende Formeln ist richtig.
\(f(x)\delta(x-y)=f(y)\delta(x-y)=f(x)\delta(y-x)\)

Select one of the following:

  • True
  • False

Explanation

Question 17 of 21

1

Welche der folgenden Aussagen ist wahr?
a) \(x\cdot\delta(x)=0\)
b) Die Fouriertransformierte der \(\delta\) - "Funktion" ist eine konstante Funktion
c) Die Fouriertransformierte von 1 ist die Betragsfunktion
d) Die Ableitung der Betragsfunktion ist die Delta-Funktion
e) Die Heavisidefunktion \(H(x-y)\) ist null für \(y\gt x\)

Select one or more of the following:

  • a

  • b

  • c

  • d

  • e

Explanation

Question 18 of 21

1

Welche Formel ist richtig?
a) \(H(1-x)=-H(x-1)\)
b)\(H(1-x)=1-H(x-1)\)
c)\(H(x-1)=\frac1 2 H(1-x)-\frac 1 2\)

Select one of the following:

  • a

  • b

  • c

Explanation

Question 19 of 21

1

Sei A ein Operator, für den der Spektralsatz gilt.
Worüber macht der Spektralsatz keine Aussage?

Select one of the following:

  • Diagonalisierbarkeit der Matrix des Operators.

  • Eigenvektoren des Operators

  • Kommutation mit dem inversen Operator

  • Projektoren zu den Eigenvektoren des Operators

Explanation

Question 20 of 21

1

Was wird von einem Hilbertraum gefordert?

Select one or more of the following:

  • Abgeschlossenheit

  • Inneres Produkt

  • Vektoraddition und Multiplikation mit einem Skalar ist definiert

  • Er ist ein Vektorraum

  • Stetigkeit der Elemente

  • Euklidisches Skalarprodukt

Explanation

Question 21 of 21

1

Wie kann man die Länge eines Vektors \(\vec x\) in einem krummlinigen, nicht orthogonalen Koordinatensystem sinnvoll definieren?

a) \(\sqrt{x_ix_i}\)
b)\(\sqrt{x^ix^i}\)
c)\(\sqrt{x_ix^i}\)
d)\(\sqrt{x^ig_{ij}x^j}\)
e)\(\sqrt{x^ig^{ij}x^j}\)

Select one or more of the following:

  • a

  • b

  • c

  • d

  • e

Explanation

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