12.1 Axiome der reellen Zahlen

Pregunta	Respuesta
Nenne die fünf Körperaxiome der reellen Zahlen	Assoziativität Kommutativität Distributivität Existenz neutraler Elemente Existenz inverser Elemente
Potenzregeln für ganzzahlige Exponenten: Was ist \( a^m * a^n \) ?	\(a^{m+n}\)
Potenzregeln für ganzzahlige Exponenten: Was ist \( (a^m) ^n \)	\( a^{mn} \)
Potenzregeln für ganzzahlige Exponenten: Was ist \( a^n * b^n \) ?	\( (ab)^n \)
Potenzregeln für ganzzahlige Exponenten: Was ist \( \frac{a^m}{a^n} \)	\( a^{m-n} \)
Nenne die drei Ordnungsaxiome der reellen Zahlen	Trichotomiegesetz Transitivitätsgesetz Monotoniegesetz
Was besagt das Trichotomiegesetz?	Dass man zwei reellen Zahlen eindeutig eine der drei Beziehungen zuordnen kann: < = >
Was besagt das Transitivitätsgesetz?	aus a < b und b < c folgt: a < c
Was besagen die Monotoniegesetze?	a < b <=> a + c < b + c und a < b <=> ac < bc (für c > 0)
Wie nennt man einen Körper, welcher zusätzlich die Ordnungsaxiome erfüllt?	Ein angeordneter Körper.
Nenne ein Beispiel für einen Körper, welcher nicht "angeordnet" ist	Der Körper \( F^2 \)
Ist Q ein angeordneter Körper?	ja
Wie nennt man reelle Zahlen, welche nicht rational sind?	irrationale Zahlen
Gibt es mehr rationale oder irrationale Zahlen und warum?	Es gibt mehr irrationale Zahlen. Es lässt sich zeigen, dass es eine bijektive Abbildung von N nach Q gibt, aber keine von N zu den irrationalen Zahlen
Was ist ein Dedekindscher Schnitt und wie wird er bezeichnet?	Wenn die reellen Zahlen in zwei nicht leere Teilmengen A und B aufgeteilt werden, wobei jedes Element aus A kleiner ist als jedes Element aus B (A \| B)
Wann nennt man eine Zahl "Trennungszahl" des "Dedekindschen Schnitt" (A \| B) ?	wenn diese Zahl die reellen Zahlen in genau zwei hälften teilt. so dass gilt: a <= t <= b für alle \(a \epsilon A\) und \(b \epsilon B\)
Zu welcher Mengen kann bzw. muss die Trennungszahl t bei einem dedekindschen (A \| B) Schnitt gehören?	Entweder zu A oder zu B. sonst wär R nicht vollständig
Was besagt das Schnittaxiom?	Jeder dedekindscher Schnitt besitzt genau eine Trennungszahl.
Wie wird das Schnittaxiom noch genannt?	Axiom der Ordnungsvollständigkeit
Potenzregeln für ganzzahlige Exponenten: Was ist \( \frac {a^n}{b^n}\) ?	\( (\frac {a}{b})^n \)
Warum muss es mehr irrationale Zahlen geben als rationale Zahlen?	Weil es nur genauso viele rationale Zahlen gibt, wie natürliche. (bijektive Abbildung) Damit die reellen Zahlen "lückenlos" sind, muss es zwischen je zwei rationalen Zahlen unendlich viele irrationale Zahlen geben, welche diese "Lücken" füllen

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	Creado por David Bratschke hace casi 7 años