São cálculos que permitem a formação de grupos relacionados à contagem, de forma que faz análise das possibilidades e das combinações possíveis entre um conjunto de elementos.
Diagrama de Árvore
Nota:
É um diagrama que facilita a enumeração de eventos relacionados.
Principio Fundamental
da Contagem
Nota:
Se um evento depende de duas ou mais etapas independentes a quantidade de ocorrências é o produto das etapas intermediárias.
Ex1: Um homem possui 3 camisas e 2 calças. De quantas maneiras diferentes ele pode se vestir supondo que ele use uma calça e uma camisa?
R: 3 * 2 = 6 maneiras diferentes.
Ex2: Sabendo que s placas de carro possuem 3 letras e 4 números, quantas combinações são possíveis?
R: (26 * 26 * 26) * (10 * 10 * 10 * 10)
Total: 175.760.000
Obs: 26 é a quantidade de letras e 10 é a quantidade de números
Ex3: Quantos números de 3 algarismos distintos podemos montar com os números 1, 2, 3, 4 e 5?
R: 5 * 4 * 3 = 60 casos distintos
Arranjos
Nota:
Os agrupamentos dos elementos dependem da ordem e da natureza dos mesmos.
Sempre que tivermos a formação de grupos onde a ordem seja levada em conta, estaremos falando de arranjo.
A ordem dos elementos é importante? Se sim, ARRANJO!!!
Com Repetição
Nota:
É quando o problema permite a repetição de um mesmo valor.
Formula: (AR)n,r = n^r
Ex1: Quantos números de três algarismos é possível formar com os números 1, 2, 3 e 4?
(AR)4,3 = 4^3 = 64
Simples
Nota:
Se tivermos grupos sem repetição, teremos arranjos simples.
Formula: A n,p = n! / (n - p)!
Ex1: Quantos números de três algarismos distintos é possível formar com os números 1, 2, 3 e 4?
A 4,3 = 4! / (4 - 3)! = 24
Permutação
Nota:
A ordem é importante e todos os elementos serão agrupados de uma vez? PERMUTAÇÃO!!!
Permutação é a distribuição dos elementos em uma nova ordem.
É um caso da análise combinatória, onde os elementos já tem uma posição pra ser preenchida.
Simples
Nota:
Uma permutação onde não há repetição dos elementos.
Formula: Pn = n!
Ex1: De quantas maneiras é possível organizar as letras A, B, C, D, E?
R: 5! = 120
Ex2: Quantos anagramas da palavra VENTILADOR têm as vogais juntas?
R: 7! * 4!
Com Repetição
Nota:
Considere um conjunto onde haja n elementos. Se houver elementos repetidos do mesmo tipo, o número de permutações possíveis é:
Formula: Pnx = n! / x!
Ex1: Quantos anagramas possui a palavra banana?
R: P = 6! / 3! * 2! = 60
Ex2: Quantos anagramas possui a palavra bagaça?
R: P = 6! / 3! = 120
Ex3: Quantos anagramas possui a palavra abacaxi?
R: Px,n = 7! / 3! = 840
Ex4: Quantos anagramas possui a palavra araraquara?
R: Px,n = 10! / 5! * 3! = 5040
Ex5: Quantos anagramas possui a palavra macaco?
R: Px,n = 6! / 2! * 2! = 180
Circular
Nota:
É composta por um ou mais conjuntos em ordem cíclica. Ocorre quando temos grupos com n elementos distintos formando uma circunferência.
Formula: Pc(m) = (m - 1)!
Ex1: Oito pessoas sentaram em uma mesa com exatamente 8 lugares. De quantas formas diferentes poderão estar dispostos na mesa?
R: P = (8-1)! = 5040
Anagrama
Nota:
É uma "arrumação" possível com as letras de uma palavra. Ou seja, trocar as letras de posições.
Ex1: Qual é o total de anagramas da palavra "vestibular"?
R: P10 = 10! = 3.628.800
a) Quantos anagramas começam com vogal?
R: 4 * 9! = 1.451.520
b) Quantos anagramas começam com vogal e terminam com consoante?
R: 4 * 6 * 8! = 967.680
c) Quantos começam com a silaba VES?
R: 1 * 1 * 1 * 7! = 5040
d) Quantos possuem as letras VES juntas nesta ordem?
R: 8! = 40.320
e) Quantas possuem as letras VES juntas em qualquer ordem?
R: 8! * 3! = 241.920
Ex1: Quantos anagramas tem a palavra VENTILADOR?
R: 10!
a) Quantos anagramas começam com vogal?
R: 4 * 9!
Combinação
Nota:
Se em determinado grupo a ordem não for importante, teremos uma COMBINAÇÃO!!!
Formula: Cn,p = n! / p! (n - p)!
Combinação é a ordenação de elementos não ordenados.
Ex1: Existem 5 frutas distintas. Em cada caixa, é coloca 3 frutas distintas. De quantas maneira é possível colocar as três frutas em cada caixa?
R: C5,3 = 5! / 3!(5 - 3)! = 10
Ex2: Uma classe tem 14 alunos, 8 meninos e 6 meninas. Formam-se comissões de 5 alunos e 3 alunas. O número de comissões possíveis é de?
R:C8,5 = 8! / 5! (8-5)! = 56
C6,3 = 6! / 3! (6-3)! = 20
20 * 56 = 1120
Fatorial
Nota:
O fatorial de um número n (n pertence ao conjunto dos números naturais) é sempre o produto de todos os seus antecessores, incluindo si próprio e excluindo o zero. A representação é feita pelo número fatorial seguido do sinal de exclamação, n! .
Ex1:
6! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 720
Restrições
Nota:
As restrições na análise combinatória precisam ser tratada como prioridade no momento do calculo.
Ex1: O primeiro elemento deve ser o número 9.
Ex2: O ultimo elemento deve ser o número 6.
Elementos
Nota:
Os elementos de uma restrição podem ser citados de varias formas, uma dela são as junções de elementos.
Ex1: Quantos anagramas a palavra VENTILADOR tem as vogais juntas em ordem alfabética?
OBS: Neste caso, as vogais irão se unir e formaram apenas um elemento para o calculo.
R: 7! = 5040