TEOREMAS DE ALGEBRA BOOLEANA

Nota:

• a) A 0 = 0 b) A+1 = 1 A 0 = A 0 + 0 0 es el neutro de la suma = A 0 + A A el producto de una variable por su complemento da 0 = A (0 + A) distributividad = A (A) una variable más el neutro no se altera = 0 una variable por su complemento da 0 

Nota:

• a) A + AB = A b) A(A + B) = A
•  A + AB = A 1 + AB 1  es el neutro del producto = A(1 + B)                 distributividad = A(1) Teorema 1 = A es el neutro del producto 

Nota:

• a) A + AB = A + B b) A(A + B) = A B 

1. USO

   Nota:

   • Este teorema se puede usar en la simplificación de expresiones cuando encontramos una expresión sumada Con su complemento multiplicado por otra expresión (o el dual). 
   1. EJEMPLOS

      Nota:

      • La expresión A + ABC por cancelación es igual a A + BC La expresión A + AB por cancelación es igual a A + B La expresión XY + XY Z por cancelación es igual a XY + Z 

Nota:

• a) AB + AB = B b) (A+B)(A+B)=B  

1. DEMOSTRACION

   Nota:

   • Demostración del inciso (a) Explicación: AB + AB = (A+A)B distributividad = 1 B la suma de una variable con su complemento es 1 = B 1 es el neutro del producto
   1. USOS

      Nota:

      • Para usar este resultado hay que identificar dos términos que tienen un factor común y el término que no es común en una de ellas es el complemento del de la otra. 
      1. EJEMPLOS

         Nota:

         • La expresión ABC+ABC, por cancelación es igual a BC La expresión XYZ+XY Z, por cancelación es igual a Z

Nota:

• a) A A = A b\ A+A= A 

1. DEMOSTRACION

   Nota:

   • La demostración del inciso (b) de este teorema es inmediata del teorema de absorción, ya que A + A = A+ A 1. 
   1. USOS

      Nota:

      • Este teorema implica que cuando existen términos semejantes en una expresión, basta con escribir uno de ellos, o bien, que un término puede "desdoblarse" tantas veces como se quiera. Obsérvese que también esto implica que An = A para cualquier número n entero positivo.
      1. EJEMPLOS

         Nota:

         • plos: La expresión (X+Y)(X+Y) por idempotencia es igual a X+Y La expresión XYZXYX por idempotencia es igual a XYZ La expresión XY+Z+ XY por idempotencia es igual a XY+Z 

Nota:

• a) AB + AC + BC = AB + AC b) (A+B)(A+C)(B+C) = (A+B)( A+C) 

1. DEMOSTRACION

   Nota:

   • Demostración del inciso (a) Explicación: AB +AC + BC = AB +AC + BC(A +A) A+A es el neutro de la multiplicación = AB +AC +ABC +ABC distributividad = (AB +ABC) + AC +ABC) conmutatividad y asociatividad = AB + AC absorción
   1. USOS

      Nota:

      • La clave para usar este teorema es encontrar dos términos que contengan una expresión en uno afirmada y en otro negada, anotar los términos con los que están multiplicando uno y otro y buscar otro elemento que sea la multiplicación de estos últimos dos, éste último elemento es el que se puede eliminar. 
      1. EJEMPLOS

         Nota:

         • Ejemplos: La expresión AB + AC + BC por consenso es igual a AB + AC La expresión XYZ + XY W + ZW por consenso es igual a XYZ + XY W 

Nota:

• a) AB = A+B b) A+B = AB 

1. DEMOSTRACION

   Nota:

   • Demostración del inciso (a): Para demostrar este teorema hay que recordar las dos propiedades que cumple el complemento X de una expresión X, es decir: i) X+ X = 1 (sumados nos da uno) ii) X X = 0 (multiplicados nos da cero) 
   1. USOS

      Nota:

      • El teorema de De Morgan se puede generalizar al caso de más de dos variables booleanas, por ejemplo, para 3 variables, tenemos que A+B+C = (A+B )C = ABC, en forma similar, AüBüC = (AüB )+C = A+B+C , y así sucesivamente para más de tres variables. 
      1. EJEMPLOS

         Nota:

         • = XYZüXZ , por De Morgan nuevamente e involución: = (XY+Z )( X+Z ), distribuyendo: =XYX +XYZ +XZ +Z Z , como X X es cero, y por idempotencia: = 0+ XYZ +XZ +Z , por absorción: = Z

1. TEOREMA 8 INVOLUCION

   Nota:

   • a) A=A 
2. TEOREMA 9 COMPLEMENTOS DE LOS NEUTROS

   Nota:

   • a) 0 = 1 b) 1 = 0