Matura Übungsaufgaben Analysis

Pregunta 1 de 22

1

Selecciona la opción correcta de los menús desplegables para completar el texto.

Die nachstehende Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion f mit einer Sekante.
Ergänzen Sie die Textlücken im folgenden Satz durch Ankreuzen der jeweils richtigen Satzteile
so, dass eine mathematisch korrekte Aussage entsteht!
Der Ausdruck ( (f(x)-f(x0)) /h, (f(x0+h)-f(x0)) /h, (f(x0+h)-f(x0)) /x0 )beschreibt die ( Steigung von f an der Stelle x, die 1.Ableitung der Funktion f, die mittlere Änderungsrate auf[x0;x0+h] )

Explicación

Pregunta 2 de 22

1

Die nachstehende Abbildung zeigt den Graphen der Funktion f mit der Gleichung f(x) = 0,1x².
Kreuzen Sie die beiden Aussagen an, die für die gegebene Funktion f zutreffend sind!

Selecciona una o más de las siguientes respuestas posibles:

Die absolute Änderung in den Intervallen [0; 3] und [4; 5] ist gleich groß.
Die momentane Änderungsrate an der Stelle x = 5 hat den Wert 2,5.
Die momentane Änderungsrate an der Stelle x = 2 ist größer als die momentane Änderungsrate an der Stelle x = 6.
Die Steigung der Sekante durch die Punkte A = (3|f(3)) und B = (6|f(6)) ist größer als die momentane Änderungsrate an der Stelle x = 3.

Explicación

Pregunta 3 de 22

1

Wachstum tritt in der Natur fast nie unbegrenzt auf, es erreicht einmal eine gewisse Grenze
(Sättigung). Diese Sättigungsgrenze sei K. Der vorhandene Bestand zum Zeitpunkt n sei x n .
Zur Beschreibung vieler Vorgänge (Wachstum von Populationen, Ausbreitung von Krankheiten
oder Informationen, Erwärmung etc.) verwendet man folgendes mathematisches Modell:
x n+1 – x n = r ⋅ (K – x n ) mit r ∈ R + , 0 < r < 1 (r ist ein Proportionalitätsfaktor)
Kreuzen Sie die auf dieses Modell zutreffende(n) Aussage(n) an

Selecciona una o más de las siguientes respuestas posibles:

Diese Gleichung kann als eine lineare Differenzengleichung der Form x n+1 = a ⋅ x n + b gedeutet werden.
Der Zuwachs pro Zeiteinheit ist proportional zum momentanen Bestand.
Es liegt ein kontinuierliches Wachstumsmodell vor, d. h., man kann zu jedem beliebigen Zeitpunkt die Größe des Bestands errechnen.
Der Zuwachs bei diesem Wachstum ist proportional zur noch verfügbaren Restkapazität (= Freiraum).
Mit zunehmender Zeit wird der Zuwachs immer geringer.

Explicación

Pregunta 4 de 22

1

Nachstehend werden Aussagen zu Funktionen und deren Stammfunktionen angeführt .
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die zutreffende(n) Aussage(n) an!

Selecciona una o más de las siguientes respuestas posibles:

Explicación

Pregunta 5 de 22

1

Selecciona la opción correcta de los menús desplegables para completar el texto.

Es gilt die Aussage:
„Besitzt eine Funktion f eine Stammfunktion, so besitzt sie sogar unendlich viele. Ist nämlich F eine Stammfunktion von f, so ist für jede beliebige reelle Zahl c auch die durch G(x) = F(x) + c definierte Funktion G eine Stammfunktion von f.“
(Quelle: Wikipedia)
Aufgabenstellung:
Ergänzen Sie die Textlücken im folgenden Satz durch Ankreuzen der jeweils richtigen Satzteile so, dass eine mathematisch korrekte Aussage entsteht!
Ist die Funktion F eine Stammfunktion der Funktion f, dann gilt ( F(x)=f(x), F(x)=f'(x), F'(x)=f(x) )
Gilt zudem ( G'(x) = F'(x) = f(x), G(x) = F(x) = f'(x), G'(x) = F(x) = f'(x) ), dann ist auch die Funktion G eine Stammfunktion von f

Explicación

Pregunta 6 de 22

1

In der untenstehenden Abbildung ist der Graph der Ableitungsfunktion f' einer Funktion f dar-
gestellt. Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an!

Selecciona una o más de las siguientes respuestas posibles:

Jede Funktion f mit der Ableitungsfunktion f' hat an der Stelle x 5 eine
horizontale Tangente.
Es gibt eine Funktion f mit der Ableitungsfunktion f', deren Graph
durch den Punkt P = (0|0) verläuft.
Jede Funktion f mit der Ableitungsfunktion f' ist im Intervall [x 1 ; x 2 ]
streng monoton fallend.
Jede Funktion f mit der Ableitungsfunktion f' ist im Intervall [x 3 ; x 4 ]
streng monoton steigend.
Die Funktionswerte f(x) jeder Funktion f mit der Ableitungsfunktion f'
sind für x ∈ [x 3 ; x 5 ] stets positiv.

Explicación

Pregunta 7 de 22

1

Gegeben ist der Graph der Funktion f.
Aufgabenstellung:
Welche der nachstehenden Abbildungen beschreibt den Graphen der ersten Ableitungsfunktion der Funktion f ?
Kreuzen Sie die zutreffende Abbildung an!

Selecciona una o más de las siguientes respuestas posibles:

Explicación

Pregunta 8 de 22

1

Von einer Polynomfunktion f dritten Grades sind die beiden lokalen Extrempunkte E 1 = (0|–4) und E 2 = (4|0) bekannt.
Aufgabenstellung:
Welche Bedingungen müssen in diesem Zusammenhang erfüllt sein? Kreuzen Sie die zutref-
fende(n) Aussage(n) an!

Selecciona una o más de las siguientes respuestas posibles:

f(0) = –4
f' (0) = 0
f(–4) = 0
f' (4) = 0
f''(0) = 0

Explicación

Pregunta 9 de 22

1

Gegeben ist die Funktion f mit der Gleichung f(x) = ax² + bx + c mit a, b, c ∈ R. Der Graph der Funktion f verläuft durch den Punkt A = (2|4) und berührt die x-Achse im Koordinatenursprung.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die für die Funktion f zutreffende(n) Aussage(n) an!

Selecciona una o más de las siguientes respuestas posibles:

f(0) = 0
f(4) = 2
f(2) = 4
f'(0) = 0
f'(2) = 0

Explicación

Pregunta 10 de 22

1

In der untenstehenden Abbildung ist der Graph einer Funktion f dargestellt. Der Punkt C ist ein
Wendepunkt der Funktion f. Die Punkte A und E sind lokale Extrema.
Kreuzen Sie die zutreffende(n) Aussage(n) an!

Selecciona una o más de las siguientes respuestas posibles:

f'' (x 1 ) > 0
f' (x 2 ) > 0
f'' (x 3 ) = 0
f' (x 4 ) < 0
f'' (x 5 ) > 0

Explicación

Pregunta 11 de 22

1

In der untenstehenden Abbildung ist der Graph der Ableitungsfunktion f' einer Funktion f dargestellt.
Kreuzen Sie die zutreffende(n) Aussage(n) an!

Selecciona una o más de las siguientes respuestas posibles:

Die Funktion f hat im Intervall [–4; 4] drei lokale Extremstellen.
Die Funktion f ist im Intervall (2; 3) streng monoton steigend.
Die Funktion f hat im Intervall [–3; 0] eine Wendestelle.
Die Funktion f'' hat im Intervall [–3; 3] zwei Nullstellen.
Die Funktion f hat an der Stelle x = 0 ein lokales Minimum.

Explicación

Pregunta 12 de 22

1

Ein Becken wird mit Wasser gefüllt. Die in das Becken zufließende Wassermenge, angegeben in m³ pro Stunde, kann im Intervall [0; 8) durch die Funktion f beschrieben werden. Die Funktion f hat an der Stelle t = 4 eine Wendestelle.
Kreuzen Sie die für die Funktion f zutreffende(n) Aussage(n) an!

Selecciona una o más de las siguientes respuestas posibles:

An der Stelle t = 4 geht die Linkskrümmung (f''(t) > 0) in eine Rechtskrümmung (f''(t) < 0) über.
An der Stelle t = 4 geht die Rechtskrümmung (f''(t) < 0) in eine Linkskrümmung (f''(t) > 0) über.
Der Wert der zweiten Ableitung der Funktion f an der Stelle 4 ist null.
Es gilt f''(t) > 0 für t > 4.
Für t > 4 sinkt die pro Stunde zufließende Wassermenge.

Explicación

Pregunta 13 de 22

1

Die Graphen zweier Funktionen f und g berühren einander im Punkt P = (x 1 | y 1 ). Für die Funktion f gilt: Die Tangente in P schließt mit der x-Achse einen Winkel von 45° ein und hat einen positiven Anstieg.
Welche der angeführten Aussagen folgen jedenfalls aus diesen Bedingungen?
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an!

Selecciona una o más de las siguientes respuestas posibles:

f(x 1 ) = g(x 1 )
f'(x 1 ) = g(x 1 )
f(x 1 ) = 1
g'(x 1 ) = 1
f'(x 1 ) = g'(x 1 ) = –1

Explicación

Pregunta 14 de 22

1

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Gegeben ist eine Polynomfunktion f. Ergänzen Sie die Textlücken im folgenden Satz durch Ankreuzen der jeweils richtigen Satzteile so, dass eine mathematisch korrekte Aussage entsteht!
Wenn ( f (x 1 ) < 0, f (x 1 ) = 0, f (x 1 ) > 0 ) ist und ( f'' (x 1 ) < 0, f'' (x 1 ) = 0, f'' (x 1 ) > 0 ) ist, besitzt die gegebene Funktion f an der Stelle x 1 ein lokales Maximum.

Explicación

Pregunta 15 de 22

1

Die Höhe h (in cm) von drei verschiedenen Pflanzen in Abhängigkeit von der Zeit t (in Tagen)wurde über einen längeren Zeitraum beobachtet und mittels geeigneter Funktionen h 1 (für Pflanze 1), h 2 (für Pflanze 2) und h 3 (für Pflanze 3) modelliert. Die nachstehende Abbildung zeigt die Graphen der drei Funktionen h 1 , h 2 und h 3 .
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an!

Selecciona una o más de las siguientes respuestas posibles:

Der Graph der Funktion h1 ist im Intervall [1; 5] links gekrümmt.
Die Wachstumsgeschwindigkeit von Pflanze 1 nimmt im Intervall [11; 13] ab.
Während des Beobachtungszeitraums [0; 17] nimmt die Wachstumsgeschwindigkeit von Pflanze 2 ständig zu.
Für alle Werte t ∈ [0; 17] gilt h3 ''(t) ≤ 0.
Für alle Werte t ∈ [3; 8] gilt: h1' (t) < 0.

Explicación

Pregunta 16 de 22

1

Die Abbildung zeigt den Graphen der Ableitungsfunktion f einer Polynomfunktion f.
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an!

Selecciona una o más de las siguientes respuestas posibles:

Die Funktion f hat an der Stelle x = 3 einen lokalen Hochpunkt.
Die Funktion f ist im Intervall [2; 5] streng monoton fallend.
Die Funktion f hat an der Stelle x = 0 einen Wendepunkt.
Die Funktion f hat an der Stelle x = 0 eine lokale Extremstelle.
Die Funktion f ist im Intervall [–2; 0] links gekrümmt.

Explicación

Pregunta 17 de 22

1

Gegeben ist eine Polynomfunktion f mit der Funktionsgleichung f(x) = a ∙ x ³ + b ∙ x² + c ∙ x + d
mit den Parametern a ≠ 0; a, b, c, d ∈ R.
Die Funktion f hat einen Hochpunkt im Punkt H = (2 |2 ) und einen Wendepunkt an der Stelle
x 2 = –1. An der Stelle x 3 = 3 hat die Steigung der Funktion den Wert –9.
Kreuzen Sie die zutreffende(n) Aussage(n) an!

Selecciona una o más de las siguientes respuestas posibles:

f '(3) = –9
f(2) = 0
f'' (–1) = 0
f' (2) = 0
f'' (2) = 0

Explicación

Pregunta 18 de 22

1

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Gegeben ist die reelle Funktion f mit f(x) = x 2 – 2x + 3.
Aufgabenstellung:
Ergänzen Sie die Textlücken im folgenden Satz durch Ankreuzen der jeweils richtigen Satzteile
so, dass eine mathematisch korrekte Aussage entsteht!
Die Funktion f ist im Intervall [2; 3]( streng monoton fallend, konstant, streng monoton steigend ), weil ( für alle x ∈ [2; 3] f ''(x) > 0 gilt, für alle x ∈ [2; 3] f'(x) > 0 gilt, für alle x ∈ [2; 3] f' (x) = 0 gilt )

Explicación

Pregunta 19 de 22

1

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Gegeben ist die reelle Funktion f mit f(x) = x² – 2x + 3.
Aufgabenstellung:
Ergänzen Sie die Textlücken im folgenden Satz durch Ankreuzen der jeweils richtigen Satzteile
so, dass eine mathematisch korrekte Aussage entsteht!
Die Funktion f ist im Intervall [2; 3]( streng monoton fallend, konstant, streng monoton steigend ) weil ( für alle x ∈ [2; 3] f'' (x) > 0 gilt, für alle x ∈ [2; 3] f' (x) > 0 gilt, für alle x ∈ [2; 3] f'(x) = 0 gilt )

Explicación

Pregunta 20 de 22

1

Gegeben sind Aussagen über die Lösung eines unbestimmten Integrals. Nur eine Rechnung ist richtig. Die Integrationskonstante wird in allen Fällen mit c = 0 angenommen.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die korrekte Rechnung an!

Selecciona una o más de las siguientes respuestas posibles:

Explicación

Pregunta 21 de 22

1

Die Funktionsgraphen von f und g schließen ein gemeinsames Flächenstück ein.
Mit welchen der nachstehenden Berechnungsvorschriften kann man den Flächeninhalt des gekennzeichneten Flächenstücks ermitteln?
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Berechnungsvorschriften an!

Selecciona una o más de las siguientes respuestas posibles:

Explicación

Pregunta 22 de 22

1

Die stetige reelle Funktion f mit dem abgebildeten Graphen hat Nullstellen bei x 1 = 1, x 2 = 3 und x 3 = 6.
Welche der folgenden Aussagen ist/sind zutreffend? Kreuzen Sie die zutreffende(n) Aussage(n) an!

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Übungen zur Analysis

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Pregunta 1 de 22

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Pregunta 2 de 22

Die nachstehende Abbildung zeigt den Graphen der Funktion f mit der Gleichung f(x) = 0,1x². Kreuzen Sie die beiden Aussagen an, die für die gegebene Funktion f zutreffend sind!

Selecciona una o más de las siguientes respuestas posibles:

Explicación

Pregunta 3 de 22

Selecciona una o más de las siguientes respuestas posibles:

Explicación

Pregunta 4 de 22

Nachstehend werden Aussagen zu Funktionen und deren Stammfunktionen angeführt . Aufgabenstellung: Kreuzen Sie die zutreffende(n) Aussage(n) an!

Selecciona una o más de las siguientes respuestas posibles:

Explicación

Pregunta 5 de 22

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Pregunta 6 de 22

In der untenstehenden Abbildung ist der Graph der Ableitungsfunktion f' einer Funktion f dar- gestellt. Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an!

Selecciona una o más de las siguientes respuestas posibles:

Explicación

Pregunta 7 de 22

Gegeben ist der Graph der Funktion f. Aufgabenstellung: Welche der nachstehenden Abbildungen beschreibt den Graphen der ersten Ableitungsfunktion der Funktion f ? Kreuzen Sie die zutreffende Abbildung an!

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Explicación

Pregunta 8 de 22

Von einer Polynomfunktion f dritten Grades sind die beiden lokalen Extrempunkte E 1 = (0|–4) und E 2 = (4|0) bekannt. Aufgabenstellung: Welche Bedingungen müssen in diesem Zusammenhang erfüllt sein? Kreuzen Sie die zutref- fende(n) Aussage(n) an!

Selecciona una o más de las siguientes respuestas posibles:

Explicación

Pregunta 9 de 22

Gegeben ist die Funktion f mit der Gleichung f(x) = ax² + bx + c mit a, b, c ∈ R. Der Graph der Funktion f verläuft durch den Punkt A = (2|4) und berührt die x-Achse im Koordinatenursprung. Aufgabenstellung: Kreuzen Sie die für die Funktion f zutreffende(n) Aussage(n) an!

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Pregunta 10 de 22

In der untenstehenden Abbildung ist der Graph einer Funktion f dargestellt. Der Punkt C ist ein Wendepunkt der Funktion f. Die Punkte A und E sind lokale Extrema. Kreuzen Sie die zutreffende(n) Aussage(n) an!

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Explicación

Pregunta 11 de 22

In der untenstehenden Abbildung ist der Graph der Ableitungsfunktion f' einer Funktion f dargestellt. Kreuzen Sie die zutreffende(n) Aussage(n) an!

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Pregunta 12 de 22

Ein Becken wird mit Wasser gefüllt. Die in das Becken zufließende Wassermenge, angegeben in m³ pro Stunde, kann im Intervall [0; 8) durch die Funktion f beschrieben werden. Die Funktion f hat an der Stelle t = 4 eine Wendestelle. Kreuzen Sie die für die Funktion f zutreffende(n) Aussage(n) an!

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Explicación

Pregunta 13 de 22

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Explicación

Pregunta 14 de 22

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Explicación

Pregunta 15 de 22

Selecciona una o más de las siguientes respuestas posibles:

Explicación

Pregunta 16 de 22

Die Abbildung zeigt den Graphen der Ableitungsfunktion f einer Polynomfunktion f. Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an!

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Explicación

Pregunta 17 de 22

Selecciona una o más de las siguientes respuestas posibles:

Explicación

Pregunta 18 de 22

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Explicación

Pregunta 19 de 22

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Explicación

Pregunta 20 de 22

Gegeben sind Aussagen über die Lösung eines unbestimmten Integrals. Nur eine Rechnung ist richtig. Die Integrationskonstante wird in allen Fällen mit c = 0 angenommen. Aufgabenstellung: Kreuzen Sie die korrekte Rechnung an!

Selecciona una o más de las siguientes respuestas posibles:

Explicación

Pregunta 21 de 22

Die Funktionsgraphen von f und g schließen ein gemeinsames Flächenstück ein. Mit welchen der nachstehenden Berechnungsvorschriften kann man den Flächeninhalt des gekennzeichneten Flächenstücks ermitteln? Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Berechnungsvorschriften an!

Selecciona una o más de las siguientes respuestas posibles:

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Pregunta 22 de 22

Die stetige reelle Funktion f mit dem abgebildeten Graphen hat Nullstellen bei x 1 = 1, x 2 = 3 und x 3 = 6. Welche der folgenden Aussagen ist/sind zutreffend? Kreuzen Sie die zutreffende(n) Aussage(n) an!

Die nachstehende Abbildung zeigt den Graphen der Funktion f mit der Gleichung f(x) = 0,1x².
Kreuzen Sie die beiden Aussagen an, die für die gegebene Funktion f zutreffend sind!

Nachstehend werden Aussagen zu Funktionen und deren Stammfunktionen angeführt .
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die zutreffende(n) Aussage(n) an!

In der untenstehenden Abbildung ist der Graph der Ableitungsfunktion f' einer Funktion f dar-
gestellt. Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an!

Gegeben ist der Graph der Funktion f.
Aufgabenstellung:
Welche der nachstehenden Abbildungen beschreibt den Graphen der ersten Ableitungsfunktion der Funktion f ?
Kreuzen Sie die zutreffende Abbildung an!

Von einer Polynomfunktion f dritten Grades sind die beiden lokalen Extrempunkte E 1 = (0|–4) und E 2 = (4|0) bekannt.
Aufgabenstellung:
Welche Bedingungen müssen in diesem Zusammenhang erfüllt sein? Kreuzen Sie die zutref-
fende(n) Aussage(n) an!

Gegeben ist die Funktion f mit der Gleichung f(x) = ax² + bx + c mit a, b, c ∈ R. Der Graph der Funktion f verläuft durch den Punkt A = (2|4) und berührt die x-Achse im Koordinatenursprung.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die für die Funktion f zutreffende(n) Aussage(n) an!

In der untenstehenden Abbildung ist der Graph einer Funktion f dargestellt. Der Punkt C ist ein
Wendepunkt der Funktion f. Die Punkte A und E sind lokale Extrema.
Kreuzen Sie die zutreffende(n) Aussage(n) an!

In der untenstehenden Abbildung ist der Graph der Ableitungsfunktion f' einer Funktion f dargestellt.
Kreuzen Sie die zutreffende(n) Aussage(n) an!

Ein Becken wird mit Wasser gefüllt. Die in das Becken zufließende Wassermenge, angegeben in m³ pro Stunde, kann im Intervall [0; 8) durch die Funktion f beschrieben werden. Die Funktion f hat an der Stelle t = 4 eine Wendestelle.
Kreuzen Sie die für die Funktion f zutreffende(n) Aussage(n) an!

Die Abbildung zeigt den Graphen der Ableitungsfunktion f einer Polynomfunktion f.
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an!

Gegeben sind Aussagen über die Lösung eines unbestimmten Integrals. Nur eine Rechnung ist richtig. Die Integrationskonstante wird in allen Fällen mit c = 0 angenommen.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die korrekte Rechnung an!

Die Funktionsgraphen von f und g schließen ein gemeinsames Flächenstück ein.
Mit welchen der nachstehenden Berechnungsvorschriften kann man den Flächeninhalt des gekennzeichneten Flächenstücks ermitteln?
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Berechnungsvorschriften an!

Die stetige reelle Funktion f mit dem abgebildeten Graphen hat Nullstellen bei x 1 = 1, x 2 = 3 und x 3 = 6.
Welche der folgenden Aussagen ist/sind zutreffend? Kreuzen Sie die zutreffende(n) Aussage(n) an!