1.2. Algunos subconjuntos importantes de N.

1.2.1. Números Pares.

Conjunto ordenado con inﬁnitos elementos que corresponden a los Números Naturales múltiplos de dos.

Pares = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, ..., ∞}

Matemáticamente se puede expresar así:

P es un Número Par ⇐ ⇒ P = 2n con n ∈ N

* Recuerda que hay una multiplicación entre el 2 y n.
* ∈ : Perteneciente a...
* N : Número Natural.
* n : Significa que pertenece a los Números Naturales.

Nota: O sea cualquier Número Natural multiplicado por dos es igual a un Número Par.

1.2.2. Números Impares.

Conjunto ordenado con inﬁnitos elementos los que corresponden a todos los Números Naturales que no son Pares.

Impares = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, ..., ∞}

Matemáticamente se puede expresar así:

I es un Número Impar ⇐ ⇒ I = 2n + 1 ó I = 2n − 1 con n ∈ N

En base a los dos subconjuntos vistos anteriormente podemos clasiﬁcar todo Número Natural en Par o Impar. Al operar con estos números obtenemos las siguientes conclusiones:

* Par + Par = Par

Esto se debe a que cada Número Par lo podemos expresar de la forma 2n, donde n ∈ N , luego tomamos dos Números Pares arbitrarios y los sumamos:

2n + 2m = 2(n + m)

Nota: Recuerda que en el caso de la derecha, el 2 al tener un paréntesis, multiplicará cada elemento y luego se suman. Y dará el mismo resultado de la izquierda.

Como n + m ∈ N también, se cumple lo propuesto en el enunciado. Por ejemplo: 10 + 22 = 32, donde 32 = 2 · (16)

* Impar + Impar = Par

Analizamos de manera completamente análoga a la proposición anterior, tomamos dos Números Impares arbitrarios y luego los sumamos:

*Análoga: Significa comparación o relación entre varias cosas, razones o conceptos; comparar o relacionar dos o más seres u objetos a través de la razón; señalando características generales y particulares comunes que permiten justificar la existencia de una propiedad en uno, a partir la existencia de dicha propiedad en los otros.

(2n + 1) + (2m + 1) = 2n + 2m + 2 = 2[(n + m) + 1]

* Para hacer un Ejemplo reemplazaré el n=4 y el m=3

(2n + 1) + (2m + 1) = 2n + 2m + 2 = 2[(n + m) + 1]
(2*4 + 1) + (2*3 + 1) = 2*4 + 2*3 + 2 = 2[(4 + 3) + 1]
(8 + 1) + (6 + 1) = 8 + 6 + 2 = 2[7 + 1]
9 + 7 = 16 = 14 + 2
16 = 16 = 16

Nótese que si tomamos cada Número Impar pero ahora de la forma 2n − 1, el resultado es exactamente el mismo.

Por ejemplo: 13 + 41 = 54, donde 54 = 2 · (27)

* Par + Impar = Impar

Tomamos un Número Par e Impar arbitrarios, 2n y 2m + 1, luego sumamos:

2n + (2m + 1) = 2n + 2m + 1 = 2(n + m) + 1

* Para hacer un Ejemplo reemplazaré el n=4 y el m=3

2n + (2m + 1) = 2n + 2m + 1 = 2(n + m) + 1
2*4 + (2*3 + 1) = 2*4 + 2*3 + 1 = 2(4 + 3) + 1
8 + (6 + 1) = 8 + 6 + 1 = 8 + 6 + 1
8 + 7 = 15 = 15
15 = 15 = 15

Claramente corresponde a un Número Impar.

Por ejemplo: 68 + 9 = 77, donde 77 = 2 · (39) − 1

* Par · Par = Par

Tomamos los Números Pares 2n y 2m, ahora procedemos a multiplicarlos:

2n · 2m = 4 n · m

El número 4 es múltiplo de 2, por lo tanto todo Natural de la forma 4n es Par también, y el producto entre dos Números Naturales es al mismo tiempo un Número Natural. Se cumple lo propuesto.

Nota: "El Producto de" Significa lo mismo que multiplicar.

Por ejemplo: 4 · 14 = 56, donde 56 = 2 · (28)

* Impar · Impar = Impar

Volvemos a escoger dos Números Impares de manera arbitraria, 2n − 1 y 2m − 1, multiplicamos:

(2n − 1)(2m − 1) = 4n · m − 2n − 2m + 1 = 2[2n · m − (n + m)] + 1

Acá debe tener en cuenta que siempre se cumple que 2n·m−(n+m) > 0, por lo tanto tal expresión corresponde a un Número Natural.

Por ejemplo: 3 · 7 = 21, donde 21 = 2 · (10) + 1

*Par · Impar = Par

Tomamos el par 2n y el impar 2m + 1, multiplicamos ambos:

2n · (2m + 1) = 4n · m + 2n

Note que el resultado corresponde a la suma de dos Números Pares y ya demostramos anteriormente que tal suma también corresponde a un Número Par.

Por ejemplo: 8 · 11 = 88, donde 88 = 2 · (44)

	Creado por Constanza Hernandez hace alrededor de 10 años

Resumen de Guía (de Matemáticas Nº1) para la prueba PSU. Contiene toda la información básica sobre los "Números Reales". Contiene Notas personales y ejemplos personales.