Mengenlehre

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Description

Bachelor Mathematik Flashcards on Mengenlehre, created by sabasta on 02/12/2016.
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Question Answer
Natürliche Zahlen Alle positiven Zahlen der Menge \[\mathbb{N}=\{1,2,3,...\}\] Die Null ist nicht enthalten, es gilt \[\mathbb{N}_0=\{0, 1, 2, ...\}\]
Ganze Zahlen Alle ganzen Zahlen, sowohl positive als auch negative inklusive der Null. \[\mathbb{Z}=\{...,-2,-1,0,1,2,...\}\]
Rationale Zahlen Rationale Zahlen werden als Bruch dargestellt. Es gilt \[\mathbb{Q}=\{\frac{p}{q} | q \neq 0;p,q \in \mathbb{Z}\}\]
Irrationale Zahlen Irrationale Zahlen lassen sich nicht vollständig durch rationale Zahlen darstellen, sondern beliebig genau approximieren. Beispiele: \(\sqrt{2}\) \(\pi\)
Reelle Zahlen Reelle Zahlen beinhalten die Menge der rationalen und der irrationalen Zahlen. \(\mathbb{R}=\mathbb{Q} \cup \) irrationale Zahlen
Komplexe Zahlen Bestehen aus einem Imaginär- und einem Realteil. Die Zahl i wird als imaginäre Einheit bezeichnet. Es gilt per Definition \(i^2=-1\) Der Imaginärteil wird wie eine Variable behandelt. Eine komplexe Zahl mit 0i lässt sich als reelle Zahl darstellen. \[\mathbb{C}=\{x+iy|x,y \cup \mathbb{R}\}\]
Intervall Eine Teilmenge der reellen Zahlen wird als Intervall bezeichnet: abgeschlossenes Intervall halboffenes Intervall offenes Intervall
abgeschlossenes Intervall \[ [a,b]=\{x \in \mathbb{R} | a \leq x \leq b \} \]
halboffenes Intervall \[ [a,b)=\{x \in \mathbb{R} | a \leq x \lt b \} \]
offenes Intervall \[ (a,b)=\{x \in \mathbb{R} | a \lt x \lt b \} \]
\[ |A| \] Mächtigkeit einer Menge
\[ A \cup B \] Vereinigung von Mengen A und B
\[ A \cap B \] Durchschnitt der Mengen A und B
\[ A \setminus B \] Differenz der Mengen A und B
\[ \bar{A} \] Komplement einer Menge
\[ A \times B \] Kartesisches Produkt
\[ \emptyset \] Leere Menge \[ \{\} \]
\[ \in \] Element von
\[ \subseteq \] Teilmenge
Zusammenhang von Zahlenmengen Es gilt \[ \mathbb{N} \subseteq \mathbb{Z} \subseteq \mathbb{Q} \subseteq \mathbb{R} \subseteq \mathbb{C} \]
Beschränkte Menge Eine Menge, die sowohl nach oben als auch nach unten hin beschränkt ist, nennt man beschränkte Menge.
Supremum Jede nach oben hin beschränkte Menge besitzt ein Supremum. Das Supremum ist die kleinste obere Schranke der Menge M. \[ sup \; M \]
Infimum Jede nach unten hin beschränkte Menge besitzt ein Infimum. Das Infimum ist die größte untere Schranke der Menge M. \( inf \; M \) \( inf \; M = -sup(-M) \)
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