Integralrechnung

David Bratschke
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Mathematik (Grundlagen KE 7) Flashcards on Integralrechnung, created by David Bratschke on 08/18/2016.
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Question Answer
Was ist eine Stammfunktion? Eine differenzierbare Funktion F heißt Stammfunktion von f, wenn F`(x) = f(x) für alle x \(\epsilon\) D gilt.
Was bedeutet "unbestimmt integrierbar"? Wenn eine Funktion f: D --> R eine Stammfunktion besitzt, so heißt f eine unbestimmt integrierbare Funktion.
Inwieweit sind stetige Funktionen integrierbar? Alle stetigen Funktionen sind unbestimmt integrierbar.
Was ist das "unbestimmte Integral"? Ist F: D --> R eine Stammfunktion einer Funktion f, so heißt: \(\int{f(x) dx}\) = F(x) + c das unbestimmte Integral von f.
Was ist bei: \(\int{f(x) dx}\) = F(x) + c die Integrationsvariable, der Integrand und was die Integrationskonstante? x ist die Integrationsvariable, f(x) ist der Integrand, und c ist die Integrationskonstante
Was ist eine (unbestimmte) Integration? Die Bestimmung der Stammfunktion F zu einer Funktion f.
Wie lautet das unbestimmte Integral für \(x_r\)? für x > 0, r \(\epsilon\) R \{-1} \(\frac{x^{r+1}}{r+1}\)
Wie lautet das unbestimmte Integral für \(x_n\)? für x \(\epsilon\) R, n \(\epsilon N_0\) \(\frac{x^{n+1}}{n+1}\)
Wie lautet das unbestimmte Integral für \(\frac{1}{x^m}\) für x != 0, m \(\epsilon N\) \{1} \(\frac{-1}{(m-1) x^{m-1}} \)
Wie lautet das unbestimmte Integral für \(\frac{1}{x}\) für x \(\not = \)0 ln |x|
Wie lautet das unbestimmte Integral für \(a^x\) ? für x \(\epsilon\) R, a > 0, a \(\not = \)1 \(\frac{a^x}{ln a}\)
Wie lautet das unbestimmte Integal für: \(e^{\alpha x}\) für x \(\epsilon\) R, a \(\not = \)1 \(\frac {e^{\alpha x}}{\alpha}\)
Wie lautet das unbestimmte Integral für: sin x ? für x \(\epsilon\) R -cos x
Wie lautet das unbestimmte Integral für: cos x ? für x \(\epsilon \mathbb{R} \) sin x
Wie lassen sich die Integrationsregeln herleiten? Da die Integration die Umkehrung der Ableitung ist, lässt sich aus jeder Differentiationsregel die entsprechende Integrationsregel durch herleiten, indem die dazu gehörige Gleichung integriert wird.
Wie lautet die Faktorregel der Integration? \(\int \alpha f(x) dx = \alpha \int f(x) dx\) Konstante Faktoren können vor das Integralzeichen gezogen werden.
Wie lautet die Summenregel der Integration? Das Integral einer Summe ist die Summe der Integrale. \(\int f(x) + g(x) dx \) = \(\int f(x) dx + \int g(x) dx\)
Wie lautet die Regel der partiellen Integration? \(\int f(x) g´(x) dx\) = f(x) g(x) - \(\int f´(x) g(x) dx\)
Wie lautet die Substitutionsregel der Integration? \( f (g(x)) g´(x) dx \) = \(F (g(x)) + c\)
Wann heisst eine endliche Menge: \( Z = {x_0, x_1 .. x_n \subset [a,b]}\) "Zerlegung des Intervals [a, b]"? wenn: \(x_0 = a, x_b = b \) und \(x_0 < x_1 < ... < x_n \) gilt.
Wann heißt eine Zerlegung äquidistant? wenn alle Teilintervalle gleich lang sind
Was ist die Norm einer Zerlegung? Die größte auftretende Länge eines Teilintervalls max {\( \Delta i | i = 1, ..., n \) }
Wie bestimmt sich die Länge eines Teilintervalls einer Zerlegung? \( \Delta i = x_i - x_{i-1} \)
Wie berechnet sich die Untersumme einer Zerlegung? (riemannscher Integralbegriff) \( \sum_{i=1}^n m_i \Delta x_i \) mit \(m_i\) als Infimum
Was ist das "Infimum"? Die größte untere Schranke, also das "unmittelbar darunterliegende" Element einer Menge
Wie berechnet sich die Obersumme einer Zerlegung? \( \sum_{i=0}^n M_i \Delta x_i \) mit \(M_i\) als Supremum
Was ist das Supremum? Die kleinste obere Schranke, als das unmittelbare "darüber liegende Element" einer Menge.
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