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Description
Flashcards by Estefanía Barrionuevo, updated more than 1 year ago
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Created by Estefanía Barrionuevo
over 7 years ago
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| Question | Answer |
| Conjunto abierto. | 1. Se verifican las siguientes propiedades: a. \(\emptyset\) y \(\mathbb{R}\) son abiertos. b. La unión de cualquier colección de conjuntos abiertos es un conjunto abierto. c. La intersección de cualquier colección finita de conjuntos abiertos es un conjunto abierto. 2. Un conjunto \(A\subset\mathbb{R}\) es abierto si y sólo si es unión de una colección finita o numerable de intervalos abiertos disjuntos. |
| Conjunto cerrado. | 1. Se verifican las siguientes propiedades: a. \(\emptyset\) y \(\mathbb{R}\) son cerrados. b. La intersección de cualquier colección de conjuntos cerrados es un conjunto cerrado. c. La unión de cualquier coleción finita de conjuntos cerrados es un conjunto cerrado. 2. Un conjunto \(A\subset\mathbb{R}\) es cerrado si y sólo si \(A=adh(A)\). 3. Un conjunto \(A\subset\mathbb{R}\) es cerrado si y sólo si contiene todos sus puntos de acumulación. |
| Interior, exterior, frontera, adherencia y conjunto derivado. | 1. Para cada \(A\subset\mathbb{R}\) los conjuntos \(int(A)\), \(ext(A)\) y \(fr(A)\) son disjuntos y se verifica que \(\mathbb{R}=int(A)\cup ext(A)\cup fr(A)\). 2. Para cada conjunto \(A\subset\mathbb{R}\) el conjunto \(adh(A)\) es el mínimo cerrado que contiene a \(A\). 3. Para cada \(A\subset\mathbb{R}\) se verifica que \(adh(A)=A\cup ac(A)\). 4. Teorema de Bolzano-Weierstrass. |
| Límite de una función. | 1. Sean una función \(f:A\subset\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) y un punto de acumulación \(a\in A\). Una condición necesaria y suficiente para que sea \(\underset{x\rightarrow a}{lim}f(x)=l\in\bar{\mathbb{R}}\) es que para toda sucesión \((x_{n})\) de puntos de \(A\) distintos de \(a\) tal que \(\underset{n}{lim}\,x_{n}=a\) se verifique que \(\underset{n}{lim}\,f(x_{n})=l\). 2. Teorema de la conservación local del signo. 3. Sean un conjunto \(A\subset\mathbb{R}\), dos funciones \(f\) y \(g\) de \(A\) en \(\mathbb{R}\) tales que \(f(x)\leq g(x)\) para todo \(x\in A\), y un punto de acumulación \(a\in A\). Si se tiene que \(\underset{x\rightarrow a}{lim}\,f(x)=l\textrm{ y }\underset{x\rightarrow a}{lim}\,g(x)=m\textrm{ (}l\textrm{,}\,m\textrm{)}\in\mathbb{\bar{R}}\), entonces \(l\leq m\). 4. Teorema del sandwich. |
| Continuidad de una función. | 1. Sean una función \(f:A\subset\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) y un punto \(a\in A\). Una condición necesaria y suficiente para que \(f\) sea continua en \(a\) es que para toda sucesión \((x_{n})\) de puntos de \(A\) tal que \(\underset{n}{lim}\,x_{n}=a\) se verifique que \(\underset{n}{lim}\,f(x_{n})=f(a)\). 2. Sea una función \(f:A\subset\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\). Una condición necesaria y suficiente para que \(f\) sea continua en \(A\) es que para todo abierto \(U\) exista un abierto \(V\) tal que \(f^{-1}(U)=A\cap V\). 3. Sean \(A\) un subconjunto abierto de \(\mathbb{R}\) y \(f:A\rightarrow\mathbb{R}\). Si \(f\) es derivable en un punto \(a\in A\), entonces \(f\) es continua en \(A\). |
| Imagen por una función continua de un conjunto \(A\subset \mathbb{R}\). | 1. Sea \(A\subset\mathbb{R}\) un conjunto compacto y \(f:A\rightarrow\mathbb{R}\) una función continua. Entonces, el conjunto \(f(A)\) es compacto. 2. Sean \(I\) un intervalo y \(f:I\rightarrow\mathbb{R}\) una función continua. Entonces, el conjunto \(f(I)\) es también un intervalo. |
| Continuidad uniforme de una función. | Sean \(A\) un subconjunto compacto de \(\mathbb{R}\) y \(f:A\rightarrow\mathbb{R}\) una función continua. Entonces, \(f\) es uniformemente continua en \(A\). |
| Continuidad y derivabilidad de la función inversa. | 1. Sea \(f\) una función continua y creciente (resp. decreciente) en un intervalo \(I\). Entonces su función inversa \(f^{-1}\) es también continua y creciente (resp. decreciente) en \(f(I)\). 2. Sea \(f\) una función monótona y continua en un intervalo. Si \(f\) es derivable en un punto \(a\) interior a dicho intervalo y \(f'(a)\neq0\), entonces su función inversa \(f^{-1}\) es derivable en \(b=f(a)\) y \((f^{-1})(b)=\frac{1}{f'(a)}=\frac{1}{f'(f^{-1}(b))}\). |
| Continuidad y derivabilidad de la función compuesta. | 1. Sean dos conjuntos \(A\subset\mathbb{R}\) y \(B\subset\mathbb{R}\). Si \(f:A\rightarrow B\) es continua en \(a\in A\) y \(g:B\rightarrow\mathbb{R}\) es continua en \(b=f(a)\), entonces la función compuesta \(f\circ g\) es continua en \(a\). 2. Sean \(A\) un subconjunto abierto de \(\mathbb{R}\), \(f:A\rightarrow\mathbb{R}\) una función derivable en \(a\in A\), \(B\) un subconjunto abierto que contiene a \(f(A)\) y \(g:B\rightarrow\mathbb{R}\) una función con derivada finita en \(f(a)\). Entonces la función compuesta \(g\circ f:A\rightarrow\mathbb{R}\) es derivable en \(a\) y \((g\circ f)'(a)=g'(f(a))\text{·}f'(a)\). |
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