13.5 Vier Prinzipien der Konvergenztheorie

David Bratschke
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Mathematik (Grundlagen KE 4) Flashcards on 13.5 Vier Prinzipien der Konvergenztheorie, created by David Bratschke on 05/19/2017.

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Question Answer
Wann heißt eine Folge monoton wachsend? Wenn das nächste Folgenglied stets größer gleich dem Aktuellen ist: \( a_{n+1} ≥ a_n \)
Wann heißt eine Folge monoton fallend? Wenn das nächste Folgenglied stets kleiner gleich dem Aktuellen ist: \( a_{n+1} ≤ a_n \)
Wann ist eine Folge monoton? Wenn sie entweder monoton wachsend oder fallend ist
Was besagt das Monotonieprinzip? Jede monotone und beschränkte Folge konvergiert. Ist die Folge monoton wachsend, strebt sie gegen das Supremum, ist sie monoton fallend, dann gegen das Inifimum der Folge
Ergänze: Eine monotone Folge konvergiert genau dann wenn sie..? beschränkt ist
Was ist der Grenzwert der Folge: \( (1 + \frac{1}{n} )^n \) und wie wird diese Zahl bezeichnet? 2,7182818 Die Eulersche Zahl, e
Was ist der Grenzwert der Folge: \( ( 1-\frac{1}{n})^n \) Der Kehrwert der eulerschen Zahl: \( \frac{1}{e} \)
Was bedeutet k! ? Die Fakultät: 1*2*3*4...*(k-1)*k
Wie lässt sich die eulersche Zahl durch die Fakultät ausdrücken? Als Grenzwert der Folge: Summe (1/k!) \( \sum\limits_{k=0}^n \frac{1}{k!} \)
Was ist eine "Gipfelstelle" einer Folge? ein Element der Folge, für das alle folgenden Elemente kleiner diesem Element sind.
Wie lautet das "Auswahlprinzip von Bolzano-Weierstraß" Jede beschränkte Folge enthält eine konvergente Teilfolge
Ergänze: Jede Folge enthält eine ... (-folge)? monotone Teilfolge
Welche Eigenschaft muss eine Folge aufweisen, damit sie auch eine : "Cauchy"-Folge ist? späte Glieder der Folge liegen beliebig dicht beieinander
Beschreibe die Eigenschaften einer Cauchyfolge mit eigenen Worten. wenn es zu jedem \( \epsilon \) > 0 ein Index \( n_0 \) gibt, so dass der Abstand zweier folgender Glieder stets kleiner ist als \( \epsilon \)
Interpretiere die Definition der Cauchyfolge. Da sich stets beliebige Indizes und \( \epsilon \) finden lassen, ab dem der Abstand der folgenden Glieder kleiner als \( \epsilon \) ist.. ==> verringert sich der Abstand der Folgenglieder immer weiter
Wie ist der Zusammenhang zwischen konvergenten Folgen und Cauchyfolgen (\( a_n \epsilon \) R)? Eine Folge ist konvergent genau dann wenn sie auch eine Cauchyfolge ist.
Was besagt das Prinzip der Intervallschachtelung? Zu jeder Intervallschachtelung \( \langle a_n | b_n \rangle \) gibt es eine reelle Zahl r, die in jedem Intervall [a , b] liegt
Was ist eine Intervallschachtelung? Eine Folge von Intervallen [a, b] , bei der sich die Randpunkte immer weiter aneinander annähern
Wie lautet die Definition einer Intervallschachtelung ausgedrückt durch Teilmengen Intervalllängen? Folge von abgeschlossenen Intervallen, bei der das folgende Intervall stets Teilmenge des Vorherigen ist und die Folge der Intervalllängen eine Nullfolge ist.
Wie ist die formale Definition einer Intervallschachtelung? \( I_n = [a_n, b_n] \) | lim \( (b_n - a_n) \) = 0
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