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Description
Flashcards by David Bratschke, updated more than 1 year ago
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Created by David Bratschke
almost 7 years ago
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| Question | Answer |
| Wann heißt eine Folge monoton wachsend? | Wenn das nächste Folgenglied stets größer gleich dem Aktuellen ist: \( a_{n+1} ≥ a_n \) |
| Wann heißt eine Folge monoton fallend? | Wenn das nächste Folgenglied stets kleiner gleich dem Aktuellen ist: \( a_{n+1} ≤ a_n \) |
| Wann ist eine Folge monoton? | Wenn sie entweder monoton wachsend oder fallend ist |
| Was besagt das Monotonieprinzip? | Jede monotone und beschränkte Folge konvergiert. Ist die Folge monoton wachsend, strebt sie gegen das Supremum, ist sie monoton fallend, dann gegen das Inifimum der Folge |
| Ergänze: Eine monotone Folge konvergiert genau dann wenn sie..? | beschränkt ist |
| Was ist der Grenzwert der Folge: \( (1 + \frac{1}{n} )^n \) und wie wird diese Zahl bezeichnet? | 2,7182818 Die Eulersche Zahl, e |
| Was ist der Grenzwert der Folge: \( ( 1-\frac{1}{n})^n \) | Der Kehrwert der eulerschen Zahl: \( \frac{1}{e} \) |
| Was bedeutet k! ? | Die Fakultät: 1*2*3*4...*(k-1)*k |
| Wie lässt sich die eulersche Zahl durch die Fakultät ausdrücken? | Als Grenzwert der Folge: Summe (1/k!) \( \sum\limits_{k=0}^n \frac{1}{k!} \) |
| Was ist eine "Gipfelstelle" einer Folge? | ein Element der Folge, für das alle folgenden Elemente kleiner diesem Element sind. |
| Wie lautet das "Auswahlprinzip von Bolzano-Weierstraß" | Jede beschränkte Folge enthält eine konvergente Teilfolge |
| Ergänze: Jede Folge enthält eine ... (-folge)? | monotone Teilfolge |
| Welche Eigenschaft muss eine Folge aufweisen, damit sie auch eine : "Cauchy"-Folge ist? | späte Glieder der Folge liegen beliebig dicht beieinander |
| Beschreibe die Eigenschaften einer Cauchyfolge mit eigenen Worten. | wenn es zu jedem \( \epsilon \) > 0 ein Index \( n_0 \) gibt, so dass der Abstand zweier folgender Glieder stets kleiner ist als \( \epsilon \) |
| Interpretiere die Definition der Cauchyfolge. | Da sich stets beliebige Indizes und \( \epsilon \) finden lassen, ab dem der Abstand der folgenden Glieder kleiner als \( \epsilon \) ist.. ==> verringert sich der Abstand der Folgenglieder immer weiter |
| Wie ist der Zusammenhang zwischen konvergenten Folgen und Cauchyfolgen (\( a_n \epsilon \) R)? | Eine Folge ist konvergent genau dann wenn sie auch eine Cauchyfolge ist. |
| Was besagt das Prinzip der Intervallschachtelung? | Zu jeder Intervallschachtelung \( \langle a_n | b_n \rangle \) gibt es eine reelle Zahl r, die in jedem Intervall [a , b] liegt |
| Was ist eine Intervallschachtelung? | Eine Folge von Intervallen [a, b] , bei der sich die Randpunkte immer weiter aneinander annähern |
| Wie lautet die Definition einer Intervallschachtelung ausgedrückt durch Teilmengen Intervalllängen? | Folge von abgeschlossenen Intervallen, bei der das folgende Intervall stets Teilmenge des Vorherigen ist und die Folge der Intervalllängen eine Nullfolge ist. |
| Wie ist die formale Definition einer Intervallschachtelung? | \( I_n = [a_n, b_n] \) | lim \( (b_n - a_n) \) = 0 |
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