16. Differenzierbarkeit

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Wann ist eine Funktion f differenzierbar?	Wenn man an jeder Stelle der Funktion die Ableitung f'(x) bilden kann.
Wann ist eine Funktion differenzierbar in einem Punkt a?	Wenn dort der Grenzwert des Differenzenquotienten lim x→a existiert und von beiden Seiten gleich ist.
Wie lautet die Formel zur Bestimmung des Grenzwerts \( x \to a \) des Differenzenquotienten einer Funktion f im Punkt a?	\( \lim\limits_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} \)
Wie lautet die Formel zur Bestimmung des Grenzwerts \( h \to 0 \) des Differenzenquotienten einer Funktion f im Punkt a?	\( \frac{f(a + h) - f(a)}{h} \)
Wie wird der Grenzwert des Differenzenquotienten einer Funktion f in einem Punkt a genannt und formal bezeichnet?	Ableitung der Funktion f an der Stelle a Bezeichnung: f'(a)
Ergänze: Ist eine Funktion in einem Punkt differenzierbar , so ist sie dort auch .. ?	stetig
Kann aus der Stetigkeit einer Funktion an einer Stelle automatisch auf die dortige Differenzierbarkeit geschlossen werden?	Nein.
Nenne ein Beispiel für Funktionen, die an einem Punkt stetig, aber dort nicht differenzierbar sind.	Zusammengesetzte Funktionen, die rechtsseitig und linksseitig andere Grenzwerte aufweisen. z.B.: links eine Gerade mit Steigung 1 und rechts Parabel mit Steigung 0
Wie stehen die "Steigung" und der Differenzenquotient in Zusammenhang?	Der Differenzenquotient ist die Steigung der Sehne(Sekante) zwischen den Punkten: (a , f(a)) und (x, f(x))
Wie wird der Differenzenquotient bzw. die Steigung der Sekante noch genannt?	mittlere Steigung an der Stelle a
Was ist eine Tangente?	Eine Gerade, die den Graphen der Funktion an nur einem Punkt berührt und die gleiche Steigung wie der Graph hat.
Wie bestimmt man die Tangentengleichung, wenn man die allgemeine Formel dafür nicht kennt?	1. Ableitung bzw. Steigung f'(a) berechnen 2. Funktionswert f(a) berechnen 3. Beides in die allgemeine Geradengleichung y = m x + n einsetzen
Wie lautet die allgemeine Formel zur Aufstellung der Tangentengleichung?	y = f(a) + f'(a)(x − a)
Wie ist ein lokales Maximum einer Funktion definiert?	wenn alle anderen Funktionswerte in der delta-Umgebung \( U_{\delta}(a) \) um diesen Punkt kleiner gleich diesem Funktionswert sind.
Wie ist ein lokales Minimum einer Funktion definiert?	dieses liegt vor, wenn es eine delta-Umgebung um a gibt, so dass alle anderen Funktionswerte darin größer gleich dem Funktionswert von a sind.
Unter welchem Oberbegriff lassen sich lokale Minima und Maxima zusammenfassen?	lokale Extrema
Wann liegt ein globales Extremum vor?	Wenn die delta-Umgebung den gesamte Definitionsbereich umfasst. d.h. f(a) \( \leq \) f(x), für alle x aus D dann globales Minimum, Maximum analog
Was ist ein "innerer Punkt"?	Ein Punkt x ∈ X heißt innerer Punkt von X, wenn es eine δ-Umgebung \( U_δ(x) \) für δ > 0 so gibt, dass \( U_δ(x)\) ganz in X liegt.
Nenne ein Beispiel bzw. Beispiele für innere Punkte einer Menge.	Ein abgeschlossenes Intervall I. Alle Punkte bis auf die Randpunkte sind innere Punkte von I
Wenn eine Funktion f an einem inneren Punkt a eines Intervalls ein lokales Extremum besitzt und dort auch differenzierbar ist, dann ist die Ableitung ..?	von f dort 0. ==> f'(a) = 0
Welche Steigung hat die Tangente bzw. wie verläuft diese an differenzierbaren Extremstellen einer Funktion?	Diese verläuft parallel zur X-Achse. Die Steigung ist also 0.
Wie lautet die Potenzregel zum Ableiten?	\( f(x) = x^n \quad \rightarrow \quad f'(x) = n \cdot x^{n-1} \)
Wie lautet die Summenregel beim Ableiten?	Die Ableitung einer Summe von Funktionen ist die Summe der Ableitungen: (f ± g)´(a) = f´(a) ± g´(a)
Wie lautet die Faktorregel beim Ableiten?	Beim Ableiten bleibt der konstante Faktor unverändert erhalten. f(x)=c⋅g(x) → f′(x)=c⋅g′(x)
Wie lautet die Produktregel beim Ableiten? (f * g)´(a) = ?	"left d right + right d left" (f * g)´(a) = f(a) * g´(a) + f´(a) * g(a) linke Ableitung * rechte Funktion + rechte Ableitung * linke Funktion
Wie lautet die Quotientenregel zum Ableiten?	\( f'(x)=\frac{h(x) \cdot g'(x) - g(x) \cdot h'(x)}{\left[h(x)\right]^2} \) ( Nenner mal Ableitung des Zählers minus Zähler mal Ableitung des Nenners ) geteilt durch Quadrat des Nenners
Mit welchem Merksatz kann man sich den Zähler der Quotientenregel besser merken?	NAZ minus ZAN "Nenner mal Ableitung des Zählers minus Zähler mal Ableitung des Nenners"
Wie lautet die Kettenregel zum Ableiten?	Innere mal äußere Ableitung. \( f(x) = g(h(x)) \quad \rightarrow \quad f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x) \)
Wie lautet die Reziprokregel zum Ableiten?	Ableitung des Nenners geteilt durch Quadrat der Funktion: \( (\frac{1}{g})´(a) = \frac{g´(a)} {(g(a))^2} \)
Wie lautet die Ableitung der Umkehrfunktion zu einer stetigen und streng monotonen Funktion f an einem Punkt a? (b = f(a))	\( f^{-1} ` (b) = \frac{1} {f'(a)} \)
Inwieweit sind Polynomfunktionen differenzierbar?	Mit Potenzregel und Summenregel grds. alle (solange Intervall mehr als einen Punkt enthält)
Inwieweit sind rationale Funktionen differenzierbar?	Rationale Funktionen sind dort differenzierbar, wo sie definiert sind.
Was ist die Ableitung der e-Funktion?	Die e-Funktion selbst
Was ist die Abletung des natürlichen Logarithmus? ln x	Die Kehrwertfunktion 1/x
Was ist die Ableitung des allgemeinen Logarithmus zur Basis a ? \( log_a (x) \)	\( \frac {1} {x ln a} \)
Was ist die Ableitung der allgemeinen Potenzfunktion zur Basis a? \( x^a \)	nach Potenzregel: \( a * x^{a-1} \)
Welche 5 spezifischen Eigenschaften weisen die Funktionen Sinus und Cosinus auf? (SinCos1 - SinCos5)	1) auf ganz\(\R\) definiert u. stetig 2) -sin(x) = sin(-x) \( \wedge -cos(x) = cos(-x) \) 3) Additionstheoreme gelten 4) \( \lim_{x \to \infty} frac{sin(x)}{x} = 1 \) 5) cos(0) = 1
Was besagen die Additionstheoreme?	sin(x+y)=sin(x)cos(y)+cos(x)sin(y) und cos(x+y)=cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y)
Was besagt das erste Additionstheorem? sin (x+y) = ?	sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)
Was besagt das zweite Additionstheorem? cos(x+y) = ?	cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y)

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