18.2 Konvergenzkriterien für Reihen

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Was ist das Majorantenkriterium?	Wenn der Betrag der Glieder einer Reihe A stets kleiner gleich der Glieder einer anderen konvergenten Reihe B ist, dann ist A ebenfalls konvergent.
Wie lautet das Majorantenkriterium formal?	sei \( \|a_n\| \leq b_n \) und \(\sum\limits_{n=1}^{\infty} b_n\) konvergent so konvergieren \(\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n\) und \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\|a_n\|\) und es gilt \( \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n \leq \sum\limits_{n=0}^{\infty} b_n\)
Was ist eine "Majorante"?	Eine konvergente Reihe, die zu einer anderen Reihe so in Relation steht, dass ihre Glieder stets größer gleich der Glieder der anderen Reihe sind.
Wie lautet das Majorantenkriterium für den allgemeinen Fall?	Ist B eine konvergente Reihe mit nicht negativen Gliedern und gilt fast immer: \( b_n \geq \|a_n\| \), so sind auch \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n\) und \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\|a_n\|\) konvergent
Wozu dient das Minorantenkriterium?	Dazu die Divergenz einer Reihe zu zeigen.
Wozu dient das Majorantenkriterium?	Damit kann die Konvergenz einer Reihe gezeigt werden.
Wie lautet das Minorantenkriterium?	Ist B eine divergente Reihe mit nicht negativen Gliedern und gilt fast immer \( a_n ≥ b_n \) , so ist auch \( \sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n = A \) divergent.
Wann kann man aus dem Quotientenkriterium die Konvergenz einer Reihe folgern ?	Wenn gilt: \( \frac{a_{n+1}}{a_n} ≤ q \) für 0 < q < 1, so ist die Reihe \( \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n \) konvergent
Nenne ein Beispiel für eine divergente Reihe bei der der Quotient des Quotientenkriteriums kleiner 1 ist.	Die harmonische Reihe. \(\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \)
Wozu dient das Wurzelkriterium?	dient dazu, die Konvergenz einer Reihe zu zeigen
Wann ist eine Reihe nach dem Wurzelkriterium konvergent?	ist die n-te Wurzel des Betrages des n-ten Gliedes für fast alle Glieder der Reihe < q mit 0 < q < 1, so ist die Reihe konvergent. 0< q < 1 \( \wedge \sqrt[n]{\|a_n\|} ≤ q \) ==> Reihe konvergent
Nenne ein Beispiel für eine divergente Reihe, bei der der Wurzelausdruck des Wurzelkriteriums < 1 ist.	Die Reihe zu: \( a_n = \frac{1}{n} \) also wieder die harmonische Reihe.
Was ist die sogenannte "Wurzelfolge"?	Eine Folge von Gliedern des Wurzelausrucks aus dem Wurzelkriterium zu einer gegeben Folge \(a_n\)
Was ist die sogenannte Quotientenfolge?	Eine Folge aus den Quotientenausdrücken aus dem Quotientenkriterium zu einer gegebenen Folge \( (a_n) \)
Wie kann aus der Quotientenfolge bzw. der Wurzelfolge die Konvergenz einer Reihe gefolgert werden?	Wenn die Quotienten bzw. Wurzelfolge gegen einen Grenzwert \( \alpha \) < 1 konvergieren.
Wann kann aus der Quotienten bzw. Wurzelfolge die Divergenz einer Reihe gefolgert werden?	wenn diese gegen einen Grenzwert \( \alpha \) > 1 streben
Welche Folgerung lässt sich für die Konvergenz einer Reihe ziehen, wenn die Quotienten bzw. Wurzelfolge = 1 ist?	keine.
Wie wird folgende Reihe genannt? \( \sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{2n!} \)	Cosinusreihe
Aus welchen Exponenten und Fakultäten bestehen die Summanden in der Cosinusreihe? ( Abgesehen vom alternierenden Term: \( (-1)^n \) )	Nur gerade Exponenten und Fakultäten.
Wie lautet die Formel für die Sinusreihe?	\( \sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \)
Welchen Exponenten und Fakultäten kommen in den polynomialen Termen der Sinusreihe vor?	ausschließlich ungerade Exponenten und Fakultäten.
Was ist die Binomialreihe?	Eine Reihe bestehend aus Binomialkoeffizienten und einem polynomialen Term \(x^n\): \( \sum\limits_{n=0}^{\infty} \binom{\alpha}{n} x^n \)
Wann konvergiert die Binomialreihe?	für \|x\| < 1 und \( \alpha ≠ \N_0 \)
Wann divergiert die Binomialreihe?	für \|x\| > 1 und \( \alpha ≠ \N_0 \)
Was ist der Grenzwert der Binomialreihe für \|x\| < 1?	\( (1+x)^{\alpha} \)
Was ist eine alternierende Reihe?	Eine Reihe deren benachbarte Glieder immer wechselnde Vorzeichen haben.
Wozu dient das Leibnitzkriterium?	Um die Konvergenz einer alternierenden Reihe zu bestimmen.
Was besagt das Leibnitzkriterium?	ist \( (b_n) \) eine monoton fallende Nullfolge , so konvergiert die alternierende Reihe : \( \sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} b_n \)
Welches Vorzeichen muss das erste Glied der Reihe haben, um das Leibnitzkriterium anwenden zu können?	Das ist egal.

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