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Description
Flashcards by David Bratschke, updated more than 1 year ago
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Created by David Bratschke
almost 7 years ago
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| Question | Answer |
| Was ist "Semantik", (insbesondere in der Aussagenlogik)? | Diese ordnet den Formeln, deren Struktur durch die Syntax definiert ist eine Bedeutung zu |
| Welche Bedeutungen / Interpretationen können Formeln in der Aussagenlogik ausschließlich haben? | 0 oder 1 falsch oder wahr |
| Was ist eine "Bewertung" bzw. "Interpretation" in der Aussagenlogik? | Eine Abbildung, welche der ausgewerteten Formel den Wert 0 oder 1 zuordnet |
| Wie wird die Inpretation einer Formel \( \alpha \) formal bezeichnet? | Mit \( I( \alpha) \) |
| Wann ist \( I ( \neg\alpha)) = 1\) ? | gdw. \( I( \alpha) \) = 0 ist. |
| Wann ist: \( I( \alpha \wedge \beta ) = 1 \) ? | gdw. \(I(\alpha) \) = 1 und \( I(\beta)\) = 1 sind. |
| Wann ist: \( I( \alpha \vee \beta) = 1 \) ? | wenn \( \alpha \) oder \( \beta\) = 1 sind. |
| Wann ist: \( I( \alpha \to \beta ) \) = 1 ? | Wenn \( I( \alpha ) = 0 \) ist oder \( I( \beta) \) = 1 ist |
| Wann ist: \( I( \alpha \leftrightarrow \beta ) \) = 1 ? | wenn: \( I( \alpha ) = I(\beta) \) ist. |
| Wann heißt eine Formel \( \alpha \) "erfüllbar"? | Wenn es für sie eine Bewertung mit \( I( \alpha ) \) = 1 gibt |
| Wann heißt eine Formel \( \alpha \) "tautologisch"? | Wenn sie allgemein gültig ist, also jede Bewertung der Formel \( I( \alpha) \) = 1 ist. |
| Wann heißt eine Formel \( \alpha \) "widerspruchsvoll"? | wenn die Formel unerfüllbar ist, also jede Bewertung der Formel \( I( \alpha) \) = 0 ist. |
| Wann heißt eine Formel \( \alpha \) "falsifizierbar"? | Wenn es eine Bewertung \( I( \alpha ) \) gibt, die 0 ist. |
| Was ist das sogenannte Erfüllbarkeitsproblem? | für eine beliebige Formel zu entscheiden, ob es Bewertungen der Atome so gibt, dass die Formel wahr ist |
| Wieviele mögliche Bewertungen gibt es für eine Formel mit n Atomen? | \( 2^n \) mögliche Bewertungen |
| Was ist eine "semantische Folgerung"? | Wenn für jede Bewertung für die \( I( \alpha ) \) = 1 gilt, auch \( I( \beta ) \) = 1 folgt. Also: Eine Implikation, die eine Tautologie ist |
| Wie lautet die Notation, wenn \( \beta \) eine semantische Folgerung aus \( \alpha \) ist? | \( \alpha |= \beta \) |
| Wie ist die Notation für eine Formel \( \alpha \), die immer wahr ist? | \( |= \alpha \) |
| Was kann man anstatt: \( \alpha_1 \wedge ... \wedge \alpha_n |= \alpha \) schreiben? | als : \( \alpha_1, ..., \alpha_n = |= \alpha \) |
| Wie wird für eine Menge F von Formeln die Konjunktion dieser formeln formal bezeichnet? | Als: \( \alpha_F \) |
| Was kann man anstatt \( \alpha_F |= \alpha \) noch schreiben? | \( F |= \alpha \) |
| Was ist äquivalent zu der Aussage: \( \alpha |= \beta \) ? | \( \alpha \to \beta \) ist tautologisch, also allgemein gültig |
| Die Aussage: " \( \alpha \wedge \neg\beta\) ist widerspruchsvoll ", ist äquivalent zu? | \( \alpha |= \beta \) |
| Ergänze: Eine Formel \( \alpha \) ist widerspruchsvoll, genau dann wenn für alle \( \gamma \) ..? | \( \alpha |= \gamma \) gilt |
| wenn es für eine aussagenlogische Formel alpha eine Formel \( \pi \) mit: \( \alpha |= ( \pi \wedge \neg\pi) \) gibt, dann ist das äquivalent zu? | der Aussage, dass \( \alpha \) widerspruchsvoll ist. |
| Wann heißen zwei aussagenlogische Formeln äquivalent und mit welchem Operator wird das in der Aussagenlogik formal ausgedrückt? | Wenn alle ihre Interpretationen gleich sind. Also für alle I gilt: \( I( \alpha ) = I( \beta ) \) in Zeichen: \( \alpha \approx \beta \) |
| Wenn: \( \alpha |= \beta \) und \( \beta |= \alpha), dann sind..? | \( \alpha \approx \beta \) also, logisch äquivalent |
| Was sind die sogenannten Vererbungsregeln? | Folgerungen aus der logischen Äquivalenz zweier Formeln |
| wenn \( \neg\alpha \approx \neg\beta \) gilt, dann gilt auch? | \( \alpha \approx \beta \) |
| Wenn \( \alpha \approx \beta \) gilt, dann gilt für: \( \alpha , \beta , \gamma \) ? | \( \gamma \wedge \alpha \approx \gamma \wedge \beta \) bzw auch: \( \gamma \vee \alpha \approx \gamma \vee \beta \) |
| Was ist die "Junktor-Minimierung"? | dass die Junktoren: \( \wedge \) Konjunktion, \( \to \) Implikation und \( \leftrightarrow \) Äquivalenz theoretisch obsolet sind |
| Warum sind die Junktoren: \( \wedge , \to , \leftrightarrow \) theoretisch obsolet? | Weil sie durch die anderen Junktoren: Negation und Diskunktion ersetzt werden können |
| Junktor-Minimierung: \( \alpha \to \beta \approx \) ? | \( \neg\alpha \vee \beta \) |
| Junktor-Minimierung: \( \alpha \wedge \beta \approx \) ? | \( \neg(\neg\alpha \vee \neg\beta) \) |
| Nenne die Namen der ersten drei Äquivalenzregeln. | Negationsregel, Idempotenzregel, Kommutativgesetze |
| Nenne die Namen der letzten drei Äquivalenzgesetze. | Assoziativgesetze, Distributivgesetze und Regeln von de Morgan |
| Was besagt die Negationsregel? (Äquivalenzregeln) | dass \( \neg\neg\alpha \approx \alpha \) ist. |
| Was besagen die Idempotenzregeln? (Äquivalenzregeln) | dass \( \alpha \wedge \alpha \approx \alpha \) und \( \alpha \vee \alpha \approx \alpha \) ist. |
| Was besagen die Kommutativgesetze? (Äquivalenzregeln) | Vertauschbarkeit, also: dass \( \alpha \wedge \beta \approx \beta \wedge \alpha \) und \( \alpha \vee \beta \approx \beta \vee \alpha \) ist. |
| Was besagen die Assoziativgesetze in der Aussagenlogik? | Die Art der Klammerung kann bei gleichen Operatoren selbst gewählt werden. (α∨β)∨γ ≈ α∨(β ∨γ) und (α∧β)∧γ ≈ α∧(β ∧γ) |
| Was besagen die Distributivgesetze in der Aussagenlogik? | dass Ausklammern möglich ist: (α ∧ β) ∨ γ ≈ (α ∨ γ) ∧ (β ∨ γ) und (α ∨ β) ∧ γ ≈ (α ∧ γ) ∨ (β ∧ γ) |
| Was besagen die Regeln von de Morgan in der Aussagenlogik? | ¬(α∧β) ≈ ¬α∨¬β und ¬(α∨β) ≈ ¬α∧¬β. |
| Beschreibe die Regeln von de Morgan mit eigenen Worten. | Eine negierte Formel kann aufgelöst werden, indem ihre Atome negiert werden und Konjunktion und Disjunktion gegeneinander vertauscht werden. |
| Wo ist der Unterschied zwischen dem Distributivgesetzen in der linearen Algebra und der Logik? | Das Distributivgesetz gilt in der Logik sowohl für (Konjunktion, Disjunktion) als auch (Disjunktion, Konjunktion) In der LA ist hingegen: a + (bc) ≠ (a + b)(a + c). |
| Was ist \( \alpha \wedge 0 \approx \) ? | 0 |
| Was sind: \( \alpha \vee 0 \approx \) ? | \( \alpha \) |
| Was ist : \( \alpha \wedge 1 \approx \) ? und \( \alpha \vee 1 \approx \) ? | jeweils 1 |
| Was ist: \( \alpha \wedge \neg\alpha \approx \) ? | 0 |
| Was ist: α ∨ ¬α ≈ ? | 1 |
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