Variáveis Aleatórias

Variáveis Aleatórias

1. CONCEITO

   • variáveis aleatórias são variáveis numéricas às quais iremos associar modelos probabilísticos
   • Uma função X, que associe a cada elemento s ∈ S um número real X(s), é denominada variável aleatória
   • Discretas
     • Admite um número finito de valores ou tem uma quantidade enumerável de valores.
   • Continuas
     • pode tomar um número infinito de valores, e esses valores podem ser associados a mensurações em uma escala contínua.

2. Distribuição de probabilidade

   • O conjunto das variáveis e das probabilidades correspondentes é denominado distribuição de probabilidades
     • {(xi,p(xi), I=1,2,….n}

3. Função de densidade de probabilidade

   • É a função que associa a cada valor assumido pela variável aleatória a probabilidade do evento correspondente, isto é:
     • P(X=xi)= P(Ai), i=1,2,….,n

4. Parâmetros das distribuições

   • Esperança matemática (ou simplesmente média)
     • E(X)=Σx.p(x
   • Variância - VAR (x)
     • é a medida que dá o grau de dispersão (ou de concentração) de probabilidade em torno da média
       • Var(X)=E(X²)-[E(X)]²
         • E(X²) =Σx² ⋅ p(x)
   • Desvio Padrão – DP(X)
     • é a raiz quadrada da variância.
       • DP(X ) = root(Var(X ))

5. Distribuições discretas

   • Bernoulli
     • Seja um experimento aleatório E realizado repetidas vezes, sempre nas mesmas condições, de tal forma que o resultado pode ser um Sucesso (s) (se acontecer o evento que nos interessa) ou um Fracasso (f) (se o evento não se realizar).
       • • P(X = x) = p^(x).q^(1−x)
       • Características
         • Média
           • E(X)=p
         • Variância
           • Var(X)=pq
   • Binomial
     • Uma variável aleatória tem distribuição binomial quando o experimento ao qual está relacionada apresenta apenas dois resultados (sucesso ou fracasso).
       • Hipoteses
         • n provas independentes e do mesmo tipo são realizadas;
         • cada prova admite dois resultados – Sucesso ou Fracasso;
         • a probabilidade de sucesso em cada prova é p e de fracasso 1- p = q
       • Define-se a Variável X que conta o número de sucesso dos n experimentos
         • (X pode assumir os valores 0, 1, 2, 3, ......., n.)
           • Fazendo sucesso corresponder a 1 e fracasso, a 0, temos
             • Para X = 0 , uma seqüência de n zeros : 000000....000.
               • P(X = 0) = q.q.q.q.q.....q = q^n
             • Para X = 1, uma seqüência do tipo: 1000....0; 01000....0; 001000...0; serão n seqüências, cada uma com um único sucesso e n-1 fracassos:
               • P(X =1) = n.p.q^(n−1)
             • Para X= x, tem-se x sucessos e (n-x) fracassos, correspondendo às seqüências com x algarismos 1 e n-x zeros.
       • Caracteristicas
         • Média
           • E(X ) = n.p
         • Variância:
           • Var(X ) = n.p.q
   • Poisson
     • probabilidade da ocorrência de um sucesso no intervalo é proporcional ao intervalo. A probabilidade de mais de um sucesso nesse intervalo é bastante pequena em relação à probabilidade de um sucesso.
       • Características
         • Média
           • E(X ) = λ
         • Variância
           • Var(X ) = λ

6. Distribuição contínua

   • Normal
     • curva em forma de sino
     • distribuição normal padrão
       • Z= ( X - μ )/ σ
     • Propriedades
       • mesma média μ e diferentes desvios padrão σ,
       • mesmo desvio padrão e médias diferentes
   • variável aleatória cujos valores são expressos em uma escala contínua
     • variável aleatória contínua

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