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Created by Enzo Bareiro
over 5 years ago
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Ecuaciones
Diferenciales
Annotations:
- Cualquier ecuación que contiene derivadas de una o más variables independientes se denomina Ecuación Diferencial (E.D). Es una ecuación que relaciona las variables independientes con las variables dependientes de una o más funciones desconocidas
- UNIDAD 1
- CLASIFICACIÓN
- POR ORDEN
- El orden de una ecuación
diferencial es el orden de la
derivada de más alto orden que
aparece en la ecuación.
- El orden de una ecuación
diferencial es el orden de la
derivada de más alto orden que
aparece en la ecuación.
- POR TIPOS
- [E. D. O.] Si una ecuación contiene solamente
derivadas de una o más variables dependientes
respecto a una única variable independiente,
entonces tendremos una ecuación diferencial
ordinaria Ej: [ y´´´+ y´´ + 3y´ = senx ]; Notación:
F(x,y,y´´,y´´´)=0
- [E. D. P.] Una ecuación que
contenga derivadas parciales es
denominada ecuación diferencial
parcial. E j: μ=f(x,y)
- [E. D. O.] Si una ecuación contiene solamente
derivadas de una o más variables dependientes
respecto a una única variable independiente,
entonces tendremos una ecuación diferencial
ordinaria Ej: [ y´´´+ y´´ + 3y´ = senx ]; Notación:
F(x,y,y´´,y´´´)=0
- POR LINEALIDAD
- El grado de una ecuación
diferencial ordinaria es el grado
algebraico de la derivada de más
alto orden de la ecuación
- El grado de una ecuación
diferencial ordinaria es el grado
algebraico de la derivada de más
alto orden de la ecuación
- POR ORDEN
- PROBLEMA DE
VALOR INICIAL
- Un problema de valor inicial es una ecuación diferencial
ordinarianjunto con un valor especificado, denominado
condición inicial, de la función desconocida en un punto
dado del dominio de la solución I.
- Teorema de
existencia y
unicidad de
soluciones
- Resolver: dy/dx = f(x,y)
sujeto a: y(Xo) = Yo
- Sea el problema de valor inicial de primer orden y
R una región rectangular del plano xy definida
por a≤x ≤b y c ≤y ≤ d que contiene al punto (x0,
y0) en su interior. Si f(x,y) y [∂f/∂y] son continuas
en R, entonces existe algún intervalo abierto Io=
(Xo-h, Xo+h), con h > 0 contenido en [a,b], y una
función única y (x), definida en Io, que es una
solución del problema con valores iniciales dada.
- Si no se cumple se puede tener:
- 1) La ecuación no tiene solución; 2) La ecuación tiene solución pero no es única; 3) La ecuación tiene solución y es única,
- 1) La ecuación no tiene solución; 2) La ecuación tiene solución pero no es única; 3) La ecuación tiene solución y es única,
- Ejemplo
- Sabemos que la [E.D.] [ y'-x.y^(1/2) =0] tiene como
familia de soluciones a la ecuación y =[ x^2/ 4 + c]^2
y además tiene una solución singular igual a la
solución trivial y = 0. (a) Probar que en ambos casos
existen soluciones que satisfacen la condición inicial
y (0) = 0. Concluir con esto que la ecuación
diferencial dada tiene al menos dos soluciones cuyas
gráficas pasan por (0, 0). (b) Justificar porqué no
contradice al Teorema
- Solución
- Primero debemos buscar si encontramos
un constante c que satisfaga y(0)=0, luego
tenemos que al menos dos soluciones
distintas y=x^2, y=0 de la [E.D.] que pasan
por el origen (0,0) . Estudiando las
funciones f(x,y)=xy^(1/2) y ∂f/∂y vemos que
ambas son continuas en el conjunto Df
={f(x, y)^2 ϵR^2 : y > 0}. Como (0; 0) no es
un punto interior de Df , entonces no se
cumplen las hipótesis del Teorema
- Primero debemos buscar si encontramos
un constante c que satisfaga y(0)=0, luego
tenemos que al menos dos soluciones
distintas y=x^2, y=0 de la [E.D.] que pasan
por el origen (0,0) . Estudiando las
funciones f(x,y)=xy^(1/2) y ∂f/∂y vemos que
ambas son continuas en el conjunto Df
={f(x, y)^2 ϵR^2 : y > 0}. Como (0; 0) no es
un punto interior de Df , entonces no se
cumplen las hipótesis del Teorema
- Solución
- Sabemos que la [E.D.] [ y'-x.y^(1/2) =0] tiene como
familia de soluciones a la ecuación y =[ x^2/ 4 + c]^2
y además tiene una solución singular igual a la
solución trivial y = 0. (a) Probar que en ambos casos
existen soluciones que satisfacen la condición inicial
y (0) = 0. Concluir con esto que la ecuación
diferencial dada tiene al menos dos soluciones cuyas
gráficas pasan por (0, 0). (b) Justificar porqué no
contradice al Teorema
- Si no se cumple se puede tener:
- Sea el problema de valor inicial de primer orden y
R una región rectangular del plano xy definida
por a≤x ≤b y c ≤y ≤ d que contiene al punto (x0,
y0) en su interior. Si f(x,y) y [∂f/∂y] son continuas
en R, entonces existe algún intervalo abierto Io=
(Xo-h, Xo+h), con h > 0 contenido en [a,b], y una
función única y (x), definida en Io, que es una
solución del problema con valores iniciales dada.
- Resolver: dy/dx = f(x,y)
sujeto a: y(Xo) = Yo
- Problema de
valor inicial de
2do orden
- Resolver:
d^2y/dx^2=f(x,y,y´)
Sujeto a: y(xo)=yo;
y(xo)=y1
- Cuando buscamos una solución al
problema de valor inicial de
segundo orden, lo que hacemos es
buscar una solución de la
ecuación diferencial en un
intervalo I que contenga a Xo, que
la gráfica de la solución pase por
(Xo,Yo) y además que la recta
tangente a la curva en el punto
(x0,y0) tenga pendiente y1.
- Ejemplo
- Resolver la [E.D.]
y''-2y'+ y = 0 sujeto a y
(0) = 1 y y´ (0) = 0.
- Solución
- Como y=C1.e^x+C2.x.e^x es una familia de
soluciones de la ecuación y''-2y'+y=0 en el
Intervalo (-∞,+∞).Ahora queremos la función
que pase por el punto (x0, y0) = (0, 1) y la
pendiente de la recta tangente a la solución
en el punto (0, 1) sea igual a 0: Entoces
reemplazando los valores de (Xo, Yo) en
y=C1.e^x+C2.x.e^x , para hallar C1 e
igualamos y'=0 para hallar C2, luego
reemplazamos los valores de C1 y C2 y la
solución que buscamos [y=e^x-x.e^x]
- Como y=C1.e^x+C2.x.e^x es una familia de
soluciones de la ecuación y''-2y'+y=0 en el
Intervalo (-∞,+∞).Ahora queremos la función
que pase por el punto (x0, y0) = (0, 1) y la
pendiente de la recta tangente a la solución
en el punto (0, 1) sea igual a 0: Entoces
reemplazando los valores de (Xo, Yo) en
y=C1.e^x+C2.x.e^x , para hallar C1 e
igualamos y'=0 para hallar C2, luego
reemplazamos los valores de C1 y C2 y la
solución que buscamos [y=e^x-x.e^x]
- Solución
- Resolver la [E.D.]
y''-2y'+ y = 0 sujeto a y
(0) = 1 y y´ (0) = 0.
- Ejemplo
- Cuando buscamos una solución al
problema de valor inicial de
segundo orden, lo que hacemos es
buscar una solución de la
ecuación diferencial en un
intervalo I que contenga a Xo, que
la gráfica de la solución pase por
(Xo,Yo) y además que la recta
tangente a la curva en el punto
(x0,y0) tenga pendiente y1.
- Resolver:
d^2y/dx^2=f(x,y,y´)
Sujeto a: y(xo)=yo;
y(xo)=y1
- Problema de
valor inicial de
1er Orden
- Resolver:
dy/dx=f(x,y)
sujeto a:
y(xo)=yo
- Cuando buscamos una solución
al problema de valor inicial de
primer orden,lo que hacemos es
buscar una solución de la
ecuación diferencial en un
intervalo I que contenga a Xo, tal
que su gráfica pase por ( Xo, Yo).
- Ejemplo
- Sabiendo que la ecuación
diferencial y´= -2x^2.y = 0 tiene
como familia de soluciones a la
ecuación y = 1 /x^2 + c . Encontrar
la solución de la ecuación
diferencial sujeto a la condición y
(0) = -1. Determinar además el
intervalo de definición maximal
para dicha solución.
- Solución
- Queremos conocer el valor de c para que la solución pase
por el punto (Xo,Yo) = (0,-1); para ello reemplazamos los
valores de (Xo,Yo) en (x,y) de la familia de soluciones de
[E.D.] y = 1 /x^2 + c , despejando c. Una vez hallado el
resultado de [c=-1], incorporamos en la ecuación inicial [y
= 1 /x^2 -1] y luego hallamos el dominio
Df=(-∞;-1)U(1,-1)U(1;+∞) [Tiene como dominio una unión
de tres intervalos maximales]. Luego, analizamos que
intervalo corresponde a Xo, entonces tenemos que [y = 1
/x^2 -1] es la solución del problema del valor inicial en el
intervalo I=(1,-1)
- Queremos conocer el valor de c para que la solución pase
por el punto (Xo,Yo) = (0,-1); para ello reemplazamos los
valores de (Xo,Yo) en (x,y) de la familia de soluciones de
[E.D.] y = 1 /x^2 + c , despejando c. Una vez hallado el
resultado de [c=-1], incorporamos en la ecuación inicial [y
= 1 /x^2 -1] y luego hallamos el dominio
Df=(-∞;-1)U(1,-1)U(1;+∞) [Tiene como dominio una unión
de tres intervalos maximales]. Luego, analizamos que
intervalo corresponde a Xo, entonces tenemos que [y = 1
/x^2 -1] es la solución del problema del valor inicial en el
intervalo I=(1,-1)
- Solución
- Sabiendo que la ecuación
diferencial y´= -2x^2.y = 0 tiene
como familia de soluciones a la
ecuación y = 1 /x^2 + c . Encontrar
la solución de la ecuación
diferencial sujeto a la condición y
(0) = -1. Determinar además el
intervalo de definición maximal
para dicha solución.
- Ejemplo
- Cuando buscamos una solución
al problema de valor inicial de
primer orden,lo que hacemos es
buscar una solución de la
ecuación diferencial en un
intervalo I que contenga a Xo, tal
que su gráfica pase por ( Xo, Yo).
- Resolver:
dy/dx=f(x,y)
sujeto a:
y(xo)=yo
- Teorema de
existencia y
unicidad de
soluciones
- Un problema de valor inicial es una ecuación diferencial
ordinarianjunto con un valor especificado, denominado
condición inicial, de la función desconocida en un punto
dado del dominio de la solución I.
- SOLUCIONES
- Dada una ecuación diferencial ordinaria de n-ésimo orden, una solución de dicha ecuación diferencial es una
función φ que posee al menos n-derivadas continuas en I tal que F(x, φ,φ', ... , φ^n)=0 , ∀ xϵI. Por ejemplo,la [E.D.]
y´´-2y´+y=0 tiene por solución a la función definida por φ=x.e^x en el intervalo de (+∞;-∞). Para demostrar que
φ=x.e^x es solución de la [E.D.] debemos derivar tantas veces como el orden de la [E.D.] y luego reemplazar en la
misma.
- Solución
Implícita
- Se dice que una relación G(x; y) = 0 es una
solución implícita de una ecuación diferencial
ordinaria en un intervalo I, suponiendo que
existe al menos una función φ que satisface la
relación así como la ecuación diferencial en I.
G(x; y): x^2 + y^2 -9 =0
- Se dice que una relación G(x; y) = 0 es una
solución implícita de una ecuación diferencial
ordinaria en un intervalo I, suponiendo que
existe al menos una función φ que satisface la
relación así como la ecuación diferencial en I.
G(x; y): x^2 + y^2 -9 =0
- Solución
Explícita
- Una solución en la cual la
variable dependiente se expresa
solamente en términos de la
variable independiente y en las
constantes se dice que es una
solución explícita.
- Una solución en la cual la
variable dependiente se expresa
solamente en términos de la
variable independiente y en las
constantes se dice que es una
solución explícita.
- Familia de
Soluciones
- a) Una solución G (x, y, c) = 0 de
una [E.D.] de primer orden F (x, y,
y') = 0 que contiene una
constante arbitraria c representa
un conjunto de soluciones
llamado familia de soluciones
uniparamétrica.
- Ejemplo
- Demuestre que x^2y = 1 + cx es
una familia de soluciones de la
[E.D.] x^3y´+(x^2y+ 1) = 0 en el
intervalo (0,+∞) Para comprobar
que x^2y=1+cx es una solución
de la [E.D.], basta comprobar
que satisface dicha ecuación,
despejando c y derivando 1 vez.
Para representar una solución
en el plano, basta darle algunos
valores a c
- Demuestre que x^2y = 1 + cx es
una familia de soluciones de la
[E.D.] x^3y´+(x^2y+ 1) = 0 en el
intervalo (0,+∞) Para comprobar
que x^2y=1+cx es una solución
de la [E.D.], basta comprobar
que satisface dicha ecuación,
despejando c y derivando 1 vez.
Para representar una solución
en el plano, basta darle algunos
valores a c
- Ejemplo
- b) Una solución G(x,y,C1, ...,
Cn)=0 de una [E.D.] de n-ésimo
orden F(x, y, y´, ..., y^n) =0 que
contiene una constante
arbitraria c representa un
conjunto de soluciones llamado
familia de soluciones
n-paramétricas.
- Ejemplo
- La [E.D.] lineal de 2do orden
y´´-2y´+y=0 tiene como
solución explícita a la
ecuación y=C1.e^x+C2.x.e^x
en el intervalo (-∞;+∞). Para
demostrar que
y=C1.e^x+C2.x.e^x es solución
de y´´-2y´+y=0 basta probar
que satisface la ecuación,
para ello derivamos 2 veces.
- La [E.D.] lineal de 2do orden
y´´-2y´+y=0 tiene como
solución explícita a la
ecuación y=C1.e^x+C2.x.e^x
en el intervalo (-∞;+∞). Para
demostrar que
y=C1.e^x+C2.x.e^x es solución
de y´´-2y´+y=0 basta probar
que satisface la ecuación,
para ello derivamos 2 veces.
- Ejemplo
- a) Una solución G (x, y, c) = 0 de
una [E.D.] de primer orden F (x, y,
y') = 0 que contiene una
constante arbitraria c representa
un conjunto de soluciones
llamado familia de soluciones
uniparamétrica.
- Solución
Particular
- Una solución de una
ecuación diferencial que
está libre de la elección de
parámetros se llama
solución particular.
- Ejemplo
- Para demostrar que y = (1-2x).e^x
es una solución particular de la
familia de soluciones
y=C1.e^x+C2.x.e^x, debemos
encontrar los valores para C1 y
C2 que resuelva la ecuación:
C1.e^x+C2.x.e^x=(1-2x).e^x.,
derivando dos veces y
resolviendo el sistema de
ecuaciones
- Para demostrar que y = (1-2x).e^x
es una solución particular de la
familia de soluciones
y=C1.e^x+C2.x.e^x, debemos
encontrar los valores para C1 y
C2 que resuelva la ecuación:
C1.e^x+C2.x.e^x=(1-2x).e^x.,
derivando dos veces y
resolviendo el sistema de
ecuaciones
- Ejemplo
- Una solución de una
ecuación diferencial que
está libre de la elección de
parámetros se llama
solución particular.
- Solución
Singular
- Una solución de una
ecuación diferencial que no
es miembro de una familia
de soluciones de la ecuación
se denomina solución
singular.
- Ejemplo
- Sabiendo que y=
[(x^2/4)+c]^2 es una
familia de soluciones de la
ecuación y´-xy^(1/2)=0 ,
suponiendo que existe un c
tal que 0= [(x^2/4)+c]^2 ,
donde c=-(x^2/4), como x
varía con c, c no es
constante
- Sabiendo que y=
[(x^2/4)+c]^2 es una
familia de soluciones de la
ecuación y´-xy^(1/2)=0 ,
suponiendo que existe un c
tal que 0= [(x^2/4)+c]^2 ,
donde c=-(x^2/4), como x
varía con c, c no es
constante
- Ejemplo
- Una solución de una
ecuación diferencial que no
es miembro de una familia
de soluciones de la ecuación
se denomina solución
singular.
- Solución
Implícita
- Dada una ecuación diferencial ordinaria de n-ésimo orden, una solución de dicha ecuación diferencial es una
función φ que posee al menos n-derivadas continuas en I tal que F(x, φ,φ', ... , φ^n)=0 , ∀ xϵI. Por ejemplo,la [E.D.]
y´´-2y´+y=0 tiene por solución a la función definida por φ=x.e^x en el intervalo de (+∞;-∞). Para demostrar que
φ=x.e^x es solución de la [E.D.] debemos derivar tantas veces como el orden de la [E.D.] y luego reemplazar en la
misma.
- CLASIFICACIÓN
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