Estudo dos triângulos

Estudo dos triângulos

1. Altura, mediana e bissetriz de um triângulo

   • Altura
     • Altura de um triângulo é o segmento de reta que une um vértice ao lado oposto (ou ao seu prolongamento), formando um ângulo de 90° com esse lado.
       • Todo triângulo possui três alturas, que se encontram em um único ponto denominado ortocentro.
         • Triângulo acutângulo: o ortocentro pertence à região interna do triângulo e não coincide com nenhum dos vértices.
         • Triângulo obtusângulo: o ortocentro não pertence à região interna do triângulo.
         • Triângulo retângulo: duas das alturas coincidem com dois lados, e o ortocentro coincide com um dos vértices.
   • Mediana
     • Mediana de um triângulo é o segmento de reta que une um vértice ao ponto médio do lado oposto.
       • Todo triângulo possui três medianas, que se encontram em um único ponto denominado baricentro
         • O baricentro é sempre um ponto interno do triângulo.
   • Bissetriz
     • Bissetriz é o segmento de reta que une um vértice ao lado oposto, dividindo o ângulo desse vértice em dois ângulos da mesma medida.
       • Todo triângulo possui três bissetrizes, que se encontram em um único ponto denominado incentro.
   • Em geral, as alturas, as medianas e as bissetrizes de um triângulo não coincidem.
     • Porém, em alguns triângulos especiais, pode haver coincidência entre esses três elementos.
       • Isso ocorre em todo triângulo isósceles

2. Congruência de triângulos

   • Figuras congruentes
     • Dois polígonos com o mesmo número de lados são congruentes quando podemos sobrepor um ao outro exatamente, fazendo que eles coincidam.
   • Triângulos congruentes
     • Dois triângulos são congruentes quando têm os lados respectivamente congruentes e os ângulos respectivamente congruentes.
     • Lados correspondentes: são os lados opostos aos ângulos congruentes nos dois triângulos.
     • Ângulos correspondentes: são os ângulos opostos aos lados congruentes nos dois triângulos.
   • Casos de congruência de triângulos
     • Existem condições que, uma vez satisfeitas, garantem a congruência de dois triângulos sem a necessidade de verificar a congruência entre os seis elementos (3 ângulos e 3 lados).
       • Essas condições são chamadas casos de congruência de triângulos.
         • 1° - caso Lado, Lado, Lado (LLL): São congruentes dois triângulos que possuem os três lados respectivamente congruentes.
         • 2° caso - Lado, Ângulo, Lado (LAL): São congruentes dois triângulos que possuem dois lados e o ângulo compreendido entre esses lados respectivamente congruentes.
         • 3° caso - Ângulo, Lado, Ângulo (ALA): São congruentes dois triângulos que possuem dois ângulos e o lado compreendido entre esses ângulos respectivamente congruente.
         • 4° caso - Lado, Ângulo Adjacente, Ângulo Oposto (LAAo): São congruentes dois triângulos que possuem um lado, um ângulo adjacente a esse lado e o ângulo oposto a esse lado respectivamente congruentes.
   • Um caso especial de congruência para os triângulos retângulos
     • O lado oposto ao ângulo reto é chamado hipotenusa.
     • Os lados que formam o ângulo reto são chamados catetos.
     • São congruentes dois triângulos retângulos que possuem a hipotenusa e um dos catetos respectivamente congruentes

3. Propriedades do triângulo isósceles e do triângulo equilátero

   • Propriedades do triângulo isósceles
     • O lado com medida diferente é chamado base.
     • Os ângulos adjacentes à base são chamados ângulos da base.
     • O ângulo oposto à base é chamado ângulo do vértice.
     • Em todo triângulo isósceles, a mediana, a altura relativa à base e a bissetriz do ângulo do vértice coincidem.
     • Em todo triângulo isósceles os ângulos da base são congruentes.
   • Propriedades do triângulo equilátero
     • Em todo triângulo equilátero os três ângulos internos são congruentes, medindo 60° cada um.