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Annotations:

• Un vector fijo de origen A y extremo B es un segmento orientado con origen en el punto A y extremo en el punto B caracterizado por: - Dirección (o recta que lo contiene) - Sentido - Módulo (o longitud del segmento) Si A=B diremos que es el vector fijo nulo (0,0,0)

1. VECTORES LIBRES

   Annotations:

   • Si tenemos varios vectores fijos todos con la misma dirección, sentido y módulo, decimos que son equipolentes.  Todos los vectores equipolentes a uno dado definen un vector libre. Se puede escribir AB o u y se representa por cualquier vector fijo de los equipolentes. Llamamos V3 al conjunto de los vectores libres del espacio

1. SUMA DE VECTORES

   Annotations:

   • Dados dos vectores libres 𝑎 y 𝑏 se define su suma como el vector libre 𝑎+𝑏 que se obtiene como indica la figura.
   1. Propiedades

      Annotations:

      • • Asociativa • Conmutativa • Elemento neutro • Elemento opuesto
2. PRODUCTO DE UN NÚMERO REAL POR UN VECTOR

   Annotations:

   • Dado un nº real k y un vector 𝑢, definimos k·𝑢 como el vector que cumple: •Tiene la misma dirección que 𝑢 •Su sentido es el de 𝑢 si k>0 y el contrario de 𝑢 si k<0 •Su módulo es |𝑘·𝑢|=|𝑘|·|𝑢|
   1. Propiedades

      Annotations:

      • 1.𝑢 𝑦 𝑣 tienen la misma dirección 𝑢=𝑘𝑣 para algún nº real k. 2.Dado cualquier vector 𝑢 el vector 1/|𝑢|·𝑢 es un vector unitario con la misma dirección y sentido que 𝑢 .
3. TRASLACIÓN DE UN PUNTO MEDIANTE UN VECTOR

   Annotations:

   • Se define la traslación de un punto A del mediante un vector 𝑢 como el punto B que es el extremo del vector fijo AB equipolente a 𝑢 . Se cumple entonces que B es el extremo del vector fijo 𝑢 cuando tiene el origen en el punto A, es decir: 𝐴𝐵=𝑢
4. COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES

   Annotations:

   • Una C.L. de varios vectores es otro vector que se obtiene al multiplicarlos por números reales y sumar los vectores resultantes. Varios vectores son linealmente dependientes (l.d.) si alguno de ellos es combinación lineal de los otros. En caso contrario serán linealmente independientes (l.i.). Para estudiar la dependencia lineal de vectores se pueden disponer en una matriz y estudiar el rango.

1. BASES DE VECTORES

   Annotations:

   • Una base de vectores de V3 es cualquier terna de vectores que sean linealmente independientes.
   1. Observación

      Annotations:

      • Ttrabajaremos siempre con una base ortonormal del espacio (tres vectores perpendiculares y unitarios): 𝐵=(𝑖,𝑗,𝑘) llamada base canónica de V3 En esta base 𝑖=(1,0,0), 𝑗=(0,1,0) y 𝑘=(0,0,1) Respecto a esta base las operaciones se pueden hacer así: Módulo: ∣u∣=la raíz cuadrade de a^2+b^2+c^2. Suma: 𝑎+𝑏=𝑎1+𝑏1,𝑎2+𝑏2,𝑎3+𝑏3 Producto de un nº real por un vector: ku=𝑘a,kb,kc Traslación de un punto: 𝐵=𝐴+𝑢=(𝑎1+𝑢1,𝑎2+𝑢2,𝑎3+𝑢3)
2. PROPIEDADES

   Annotations:

   • 1- Si 𝐵=𝑎,𝑏,𝑐 es una base de V3 entonces cualquier otro vector 𝑢 se puede escribir de forma única como C.L. de los tres vectores de la base, es decir,𝑢=𝑢1𝑎+𝑢2𝑏+𝑢3𝑐 Diremos que las coordenadas de𝑢 respecto a la base B son 𝑢 =𝑢1,𝑢2,𝑢3. 2- Cualquier terna de vectores no paralelos ni coplanarios forman una base de V3. 

Annotations:

• El producto escalar de dos vectores es el número real: u⋅v=∣u∣·∣v∣·cos𝛼 Donde 𝛼 es el ángulo orientado desde u hasta v.

1. CONSECUENCIAS

   Annotations:

   • Consecuencias u⋅v>0 𝛼 𝑒𝑠 𝑎𝑔𝑢𝑑𝑜 u⋅v<0 𝛼 𝑒𝑠 𝑜𝑏𝑡𝑢𝑠𝑜 u⋅v=0𝛼=90º
2. PROPIEDADES

   Annotations:

   • •Conmutativa: u⋅v=v⋅u •a·u·v=𝑎u·v=u·𝑎v •Distributiva: 𝑢·v+w=𝑢·v+u·𝑤
3. EXPRESIÓN ANALÍTICA

   Annotations:

   • 𝑢 ·𝑣=𝑢1· 𝑣1+ 𝑢2· 𝑣2+ 𝑢3· 𝑣3

Annotations:

• El producto vectorial de dos vectores es el vector uxv o u^v que cumple: • Su módulo es u xv=∣u∣·∣v∣·sen𝛼 • Su dirección es perpendicular a u y a v. • Su sentido es el del avance de un sacacorchos desde u hasta v.

1. PROPIEDADES

   Annotations:

   • •Anticonmutativa: u xv=−vxu •a·u xv=𝑎u xv=u x𝑎v •Distributiva: 𝑢𝑥𝑣+𝑤=𝑢𝑥𝑣+𝑢𝑥𝑤 •Si dos vectores son paralelos entonces su producto vectorial es 0.
2. APLICACIONES AL CÁLCULO DE ÁREAS
3. EXPRESIÓN EN LA BASE CANÓNICA

Annotations:

• El producto mixto de tres vectores es el número:[𝑢,𝑣,𝑤]=𝑢·𝑣𝑥𝑤

1. PROPIEDADES
2. EXPRESIÓN EN LA BASE CANÓNICA