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Description
Mind Map by Paula Simarra, updated more than 1 year ago
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Created by Paula Simarra
over 6 years ago
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PROCESOS ESTOCÁSTICOS - CADENA DE
MARKOV
- Un proceso estocástico es una colección o familia de variables aleatorias {Xt, con t ∈ T}, ordenadas
según el subíndice t que en general se suele identificar con el tiempo. Por tanto, para cada instante t
tendremos una variable aleatoria distinta representada por Xt, con lo que un proceso estocástico
puede interpretarse como una sucesión de variables aleatorias cuyas características pueden variar a
lo largo del tiempo. A los posibles valores que puede tomar la variable aleatoria se le denominaran
estados, por lo que se puede tener un espacio de estados discreto y un espacio de estados continuo.
Por otro lado, la variable tiempo puede ser de tipo discreto o de tipo continuo. En el caso del tiempo
discreto se podría tomar como ejemplo que los cambios de estado ocurran cada día, cada mes, cada
año, etc.. En el caso del tiempo continuo, los cambios de estado se podrían realizar en cualquier
instante.
- Un poceso estocástico de tiempo discreto es una descripción de la relación entre las variables
aleatorias X0 ,X1 ,...que representan alguna característica de un sistema en puntos discretos en el
tiempo. n Ejemplo: ruina del jugador: inicialmente tengo 2€, en los tiempos 1,2,... participo en un
juego en el que apuesto 1€ que gano con probabilidad p y pierdo con probabilidad 1-p. Dejo de jugar
cuando mi capital es 4€ o he perdido todo mi capital. Si Xi es la cantidad de dinero que tengo en el
tiempo i, X0 ,X1 ,... es un proceso estocástico.
- PROCESOS DE MARKOV
- Un proceso de Markov es una serie de experimentos en que cada uno tiene m posibles resultados, E1,
E2.....Em, y la probabilidad de cada resultado depende exclusivamente del que se haya obtenido en los
experimentos previos. O también se puede decir que un proceso cumple la propiedad de Markov cuando toda la historia
pasada del proceso se puede resumir en la posición actual que ocupa el proceso para poder calcular la
probabilidad de cambiar a otro estado, es decir, se cumple la propiedad siguiente: P (Xn = xn/X0 = x0,
X1 = x1, ..., Xn−1 = xn−1) = P (Xn = xn/Xn−1 = xn−1).
- Aquellas Cadenas que cumplen la propiedad de Markov se llaman Cadenas de Markov.
- Otra manera de denotar a las probabilidades de transición es de la forma siguiente: P (Xn = j/Xn−1 = i) =
pij (n). Una cadena de Markov es una sucesión de ensayos similares u observaciones en la cual cada
ensayo tiene el mismo número finito de resultados posibles y en donde la probabilidad de cada
resultado para un ensayo dado depende sólo del resultado del ensayo inmediatamente precedente y no
de cualquier resultado previo. Una propiedad interesante que puede tener una Cadena es que los
valores pij (n) no dependan del valor de n. Es decir, las probabilidades de cambiar de estado son las
mismas en cualquier instante. Esta propiedad indica que las probabilidades de transición son
estacionarias.
- Otra manera de denotar a las probabilidades de transición es de la forma siguiente: P (Xn = j/Xn−1 = i) =
pij (n). Una cadena de Markov es una sucesión de ensayos similares u observaciones en la cual cada
ensayo tiene el mismo número finito de resultados posibles y en donde la probabilidad de cada
resultado para un ensayo dado depende sólo del resultado del ensayo inmediatamente precedente y no
de cualquier resultado previo. Una propiedad interesante que puede tener una Cadena es que los
valores pij (n) no dependan del valor de n. Es decir, las probabilidades de cambiar de estado son las
mismas en cualquier instante. Esta propiedad indica que las probabilidades de transición son
estacionarias.
- Aquellas Cadenas que cumplen la propiedad de Markov se llaman Cadenas de Markov.
- Un proceso de Markov es una serie de experimentos en que cada uno tiene m posibles resultados, E1,
E2.....Em, y la probabilidad de cada resultado depende exclusivamente del que se haya obtenido en los
experimentos previos. O también se puede decir que un proceso cumple la propiedad de Markov cuando toda la historia
pasada del proceso se puede resumir en la posición actual que ocupa el proceso para poder calcular la
probabilidad de cambiar a otro estado, es decir, se cumple la propiedad siguiente: P (Xn = xn/X0 = x0,
X1 = x1, ..., Xn−1 = xn−1) = P (Xn = xn/Xn−1 = xn−1).
- Tiempo Discreto
- PROCESOS DE MARKOV
- Un proceso estocástico de tiempo continuo es un proceso estocástico en el que el estado del tiempo se
puede examinar en cualquier tiempo. n Ejemplo: número de personas en un supermercado a los t minutos
de abrir.
- Tiempo Contínuo
- Tiempo Contínuo
- Un poceso estocástico de tiempo discreto es una descripción de la relación entre las variables
aleatorias X0 ,X1 ,...que representan alguna característica de un sistema en puntos discretos en el
tiempo. n Ejemplo: ruina del jugador: inicialmente tengo 2€, en los tiempos 1,2,... participo en un
juego en el que apuesto 1€ que gano con probabilidad p y pierdo con probabilidad 1-p. Dejo de jugar
cuando mi capital es 4€ o he perdido todo mi capital. Si Xi es la cantidad de dinero que tengo en el
tiempo i, X0 ,X1 ,... es un proceso estocástico.
- Paula Andrea Simarra Añez
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