Funciones

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Proyecto escolar: Fernanda Olguín
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Funciones
1 Relaciones y Funciones
1.1 Funciones
1.1.1 Una función es una regla de correspondencia que asocia cada elemento del dominio con un solo valor del contradominio
1.1.1.1 Dominio y Contradominio
1.1.1.1.1 Dominio
1.1.1.1.1.1 Dada una función f: R --> R, s define el dominio o campo de existencia de la función como el conjunto de números reales x para las cuales existe f(x). Se representa mediante Dom (f). En términos más formales: Dom (f)= {x E R/ existe f(x)}
1.1.1.1.1.1.1 Para obtener el dominio de una función que viene expresada por una formúla, tendremos en cuenta las operaciones algebraicas que no se pueden realizar en el conjunto de los números reales:
1.1.1.1.1.1.1.1 -No está permitido dividir ningún número real por 0.
1.1.1.1.1.1.1.1.1 -Se permiten radicales de índice par solo si el radicando es mayor o igual a 0.
1.1.1.1.1.2 Desigualdades lineales
1.1.1.1.1.2.1 Un intervalo es el espacio que existe entre dos límites o extremos, a los que llamaremos a y b. Los intervalos se clasifican en:
1.1.1.1.1.2.1.1 Intervalo abierto:
1.1.1.1.1.2.1.1.1 Es aquel que no incluye los límites o extremos, mátematicamente se denota por: a < x <b o (a,b)
1.1.1.1.1.2.1.2 Intervalo cerrado:
1.1.1.1.1.2.1.2.1 Es aquel que incluye los límites, matemáticamente se denota por: [a, b]
1.1.1.1.2 Contradominio
1.1.1.1.2.1 Dada una función f: R--> R, se define el recorrido, imagen, o contradominio de la función como el conjunto de números reales que resultan al calcular la imagen de todos los valores del dominio.
1.1.1.1.3 Cálculo del dominio y recorrido de una función mediante su gráfica
1.1.1.1.3.1 Para obtener el dominio de una función de la que conocemos su gráfica, bastaría proyectar verticalmente desde los distintos puntos de la gráfica sobre el eje X. Todos los puntos obtenidos con estas proyecciones en el eje x constituyen el dominio de una función.
1.1.1.1.3.2 Para obtener el recorrido de una función a partir de la gráfica proyectamos horizontalmente desde los distintos puntos de la gráfica sobre el eje Y. Los puntos obtenidos con estas proyecciones en el eje Y constituyen el recorrido de la función Y.
1.2 Relaciones
1.2.1 Es un proceso generado por la correspondencia que existe entre dos conjuntos de objetos o fenómenos. El primer conjunto se denomina dominio y el segundo contradominio.
2 Una función es una relación establecida entre dos variables que asocia a cada valor de la primera variable (variable independiente x), un único valor de la segunda variable (variable dependiente y). Esta relación se represnta mediante y= f(x)
2.1 Producto Cartesiano
2.1.1 El producto cartesiano entre dos conjuntos A, B es una operación que resulta en otro conjunto, cuyos elementos son todos los pares ordenados que pueden formarse tomando el primer elemento de par ordenado del primer conjunto y el segundo elemento del par ordenado del segundo conjunto.
2.2 Las funciones se pueden determinar de varias formas:
2.2.1 -Mediante una tabla de valores.
2.2.2 -Mediante su expresión analítica. Es la expresión matemática o fórmula con la que se establece la relación entre las dos variables.
2.2.3 -Mediante su gráfica, que es la represntación de los pares de valores en los ejes de coordenadas. Con las gráficas podemos analizar visualmente el comportamiento de una función.
3 Gráfica de una función
3.1 Dada una función f: R--> R, se define la gráfica de la función como el conjunto de pares (x,y) tales que y= f (x), siendo x un elemento del dominio de la función.
4 Clasificación de funciones
4.1 Según la forma en que se representan matemáticamente las funciones, podemos clasificarlas en:
4.1.1 Algebraicas
4.1.1.1 Son aquellas que pueden formarse usando solo operaciones algebraicas.
4.1.2 Trascendentes
4.1.2.1 Podemos definirlas como aquellas que no son algebraicas.
4.2 Por su comportamiento gráfico, las funciones se clasifican en continuas y discontinuas:
4.2.1 Contiunua
4.2.1.1 Una función es continua cuando no hay una ruptura en su trazo. En términos matemáticos, esto quiere decir que todos los elementos del contradominio de la función pertenecen al conjunto de números reales.
4.2.2 Discontinua
4.2.2.1 Una función es discontinua cuando uno de los elementos del contradominio no pertenece a los números reales. Por ejemplo si la función presenta una división entre cero con cierto valor de x .
4.3 Otra clasificación de funciones se basa en los valores que se obtienen de f (x) en relación con los de x.
4.3.1 Creciente
4.3.1.1 Se dice que f(x) es una función creciente en un intervalo |si para cualquier par de valores x1, x2 que pertenecen al intervalo |. En otras palabras, cuando los valores de x se incrementan, los de la función también crecen
4.3.2 Decreciente
4.3.2.1 Una función decreciente en un intervalo | si para todo par de valores x1 , x2. Es decir, cuando los valores de x se incrementan, los de la función disminuyen.
4.3.3 No creciente
4.3.3.1 Una función no creciente en un intervalo | si para todo par de valores x1, x2 que pertenecen al intervalo. Es decir, la función es horizontal o decrece.
4.3.4 No decreciente
4.3.4.1 Una función no decreciente en un intervalo | si para todo par de valores x1, x2 que pertenecen al intervalo. La función,entonces, es horizontal o crece
4.4 Función uno a uno o inyectiva
4.4.1 Una función f: A--> B es inyectiva o uno a uno si para cada par de valores x1, x2 en el dominio de f (x) se encuentra un valor diferente y único en el rango, es decir, si para cada valor del contradominio existe solo uno del dominio
4.5 Función compuesta
4.5.1 Consideramos las funciones f(x) y g(x). Si el rango de g(x) está incluido en el dominio de f, entonces la función compuesta f(g(x)), denominda f con g. Para resolver las funciones de manera algebraica, es preciso sustituir el valor de x en la función.
5 Función inversa
5.1 Aquella que realiza una acción opuesta: por ejemplo, la función inversa de la suma es la resta; para la división la multiplicación.
6 Características generales de las funciones
6.1 Máximos y Mínimos
6.1.1 Máximos
6.1.1.1 Una función tiene un máximo local en x0 si existe un entorno de centro, tal que para todo punto x perteciente a dicho entorno s verifica que f(x) <- f(x0)
6.1.2 Mínimos
6.1.2.1 Una función f tiene un mínimo local o relativo en x0 si existe un entorno de centro, tal que para todo punto x perteciente a dicho entorno s verifica que f(x) >- f(x0)
6.2 Funciones acotadas
6.2.1 Diremos que una función estáacotada superiormente si existe un númerp M tal que el valor de la función en cualquier punto x del dominio cumple que f(x) <- M. En este caso M es una cota superior. Del mismo modo diremos que una función f está acotada inferiormente si existe un número m tal que el valor de la función en cualquier punto x del dominio cumple que f(x) >- m. Entonces diremos que m es una cota inferior.
6.3 Funciones periódicas
6.3.1 Una función es periódica T si existe un número real positivo T tal que para cualquier punto x del dominio se verifica.
6.4 Funciones pares e impares
6.4.1 Par
6.4.1.1 Es par si para cualquier x de su dominio se verifica que f (-x) = f(x). Las gráficas de las funciones pares son simétricas respecto del eje Y.
6.4.2 Impar
6.4.2.1 Es impar si para cualquierx de su dominio se verifica que f (-x) = f(x). Las gráficas de las funciones impares son simétricas respcto del origen de coordenadas.
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