ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS_2

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ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS_2
1 OPERACIONES BINARIAS Y SUS PROPIEDADES
1.1
2 ESTRUCTURA DE GRUPO
3 ESTRUCTURAS DE ANILLO Y DE CAMPO
3.1 Sea A un conjunto vacio
3.1.1 Y sean + y *
3.1.1.1 2 operaciones binarias
3.1.1.1.1 Tienen estructura de anillo sí
3.1.1.1.1.1 i) V a, b, c E A
3.1.1.1.1.1.1 a*(b*c) = (a*b)*ca+(b+c) = (a+b)+c
3.1.1.1.1.2 iii) E inv. 0 E A tal que
3.1.1.1.1.2.1 0+a = a, V a E A
3.1.1.1.1.3 ii) V a, b E A
3.1.1.1.1.3.1 a+b = b+a
3.1.1.1.1.4 iv) V a E A E inv. -a E A
3.1.1.1.1.4.1 tal que -a+a = 0
3.1.1.1.1.5 v) V a, b, c E A
3.1.1.1.1.5.1 a*(b*c) = (a*b)*c
3.1.1.1.1.6 vi) V a, b, c E A
3.1.1.1.1.6.1 a*(b+c) = (a*b)+(a*c)
3.1.1.1.1.6.2 (b+c)*a = (b*a)+(c*a)
3.2 Conmutativo
3.2.1 Si V a, b E A
3.2.1.1 a*b = b*a
3.3 De Unidad
3.3.1 Si E inv. 1 E A tal que
3.3.1.1 1*a = a = a*1
3.3.1.1.1 V a E A
3.4 Dominios Enteros
3.4.1 Sea (A, +,*) un anillo conmutativo
3.4.1.1 con unidad de por lo menos 2 elementos
3.4.1.1.1 donde 0 dif. 1; sí
3.4.1.1.1.1 a*b = 0 --> a= 0 ó b = 0
3.4.1.1.1.1.1 se dice que
3.4.1.1.1.1.1.1 (A, +,*)
3.4.1.1.1.1.1.1.1 se cumple
3.5 Campos
3.5.1 Es un dominio entero
3.5.2 Sea K un conjunto de por lo menos 2 elementos
3.5.2.1 y sean + y *
3.5.2.1.1 2 operaciones binarias definidas en K
3.5.2.1.1.1 El sistema (K, + ,*) es un campo sí
3.5.2.1.1.1.1 i) K es un grupo abeliano
3.5.2.1.1.1.1.1 su elemento identico se denota como 0
3.5.2.1.1.1.2 ii) (K-{0},*) es un grupo abeliano
3.5.2.1.1.1.3 iii) * es distributiva por
3.5.2.1.1.1.3.1 la izquierda y derecha sobre +
4 ISOMORFISMOS Y HOMOMORFISMOS
4.1 DEFINICIONES
4.1.1 FUNCIONES
4.1.1.1 INYECTIVA
4.1.1.1.1 PARA CADA VALOR DE Y NO CORRESPONDE UN VALOR DE X
4.1.1.2 SUPRAYECTIVA
4.1.1.2.1 PARA CADA VALOR DE Y PUEDEN EXISTIR UNO O MAS VALORES DE X
4.1.1.3 BIYECTIVA
4.1.1.3.1 PARA CADA VALOR DE Y EXISTE UN VALOR DE X
4.2 ISOMORFISMOS
4.2.1 PROVIENE DE
4.2.1.1 ISO = MISMO MORFO= FORMA
4.2.2 EN FORMA SENCILLA ES
4.2.2.1 LA IDEA DE DOS SISTEMAS TAN PARECIDOS QUE PARECIERA QUE SON LOS MISMOS
4.2.2.1.1 EN UNA FUNCION BIYECTIVA
4.2.2.1.2 EJEMPLO
4.3 HOMOMORFISMOS
4.3.1 Es una función que preserva la estructura entre dos estructuras matemáticas relevantes.
4.3.1.1 UN ANILLO EN CONTRA DE UN CAMPO
5 Propiedades elementales de los grupos
5.1 Grupo
5.1.1 Sea el par (A ,* )
5.1.1.1 Todo elemento de A es invertible en A respecto *
5.1.1.1.1 Es decir Va’ ε A, Ǝa’ ε A / a*a’ = e
5.1.1.2 (A , *) es un grupo ó se define sobre A una estructura de grupo
5.1.1.2.1 * es asociativa.
5.1.1.2.1.1 Es decir Va, Vb, Vc, ε A: → (a*b)*c = a*(b*c)
5.1.1.2.2 * posee elemento neutro en A.
5.1.1.2.2.1 Es decir Ǝe ε A / Va , si a ε A → A*e = e*a = a
5.1.1.3 Donde A es un conjunto no vacío dotado de una ley de composición interna binaria *
5.2 Subgupo
5.2.1 Un subconjunto no vacío B, del conjunto A es un subgrupo de ( A , ) si y solo sí ( B , ) es un grupo.
5.2.1.1 Por ejemplo
5.2.1.1.1 ( Z , + ) es un subgrupo de ( Q , + ).

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