Postulados de Algebra Booleana

JESUS EMMANUEL LOERA FERNANDEZ
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Postulados de Algebra Booleana
  1. Postulado 1: El álgebra booleana es un sistema algebraico definido en un conjunto B, el cual contiene dos o más elementos y entre los cuales se definen dos operaciones denominadas "suma u operación OR" ( + ) y "producto o multiplicación u operación AND"
    1. 1.- Para este ejemplo el conjunto B es el conjunto de todos los conjuntos a tratar. La suma es la unión de conjuntos (U) y la multiplicación es la intersección (Ç) de conjuntos.
      1. CIRCUITOS DE CONMUTACIÓN
        1. 1.- Para este ejemplo de álgebra de Boole, el conjunto B es el conjunto de todos los switches o interruptores. La operación suma de switches es la conexión en paralelo y la multiplicación de switches es la conexión en serie, como se muestra en la siguiente figura. Los valores que pueden tomar los switches son sólo dos: {ON, OFF} o bien, {1,0}.
    2. Postulado 2. Existencia de Neutros. Existen en B el elemento neutro de la suma, denominado O y el neutro de la multiplicación, denominado 1, tales que para cualquier elemento x de s: (a) x + O = x (b) x. 1 = x
      1. 2.- Existencia de neutros. El neutro de la unión es el conjunto vacío F , mientras que el neutro de la intersección es el conjunto universo U, ya que para cualquier conjunto arbitrario A, A U F = A y A Ç U = A.
        1. CIRCUITOS DE CONMUTACIÓN
          1. 2.- Existencia de neutros. El neutro de la suma, es un circuito abierto (un switch que siempre está abierto), mientras que el neutro del producto es un corto circuito (un switch que siempre está cerrado)
      2. Postulado 3. Conmutatividad. Para cada x, y en B: (a) x+y = y+x (b) x y =y x
        1. 3.- Conmutatividad. La unión y la intersección son conmutativas, ya que para cualquier par de conjuntos A, B: A U B = B U A y A ÇB = B ÇA
          1. CIRCUITOS DE CONMUTACIÓN
            1. 3.- Conmutatividad. Evidentemente las conexiones en serie y en paralelo funcionan de la misma manera independientemente del orden de colocación de los switches que interconectan
        2. Postulado 4. Asociatividad. Para cada x, y, z en B: (a) x + (y + z) = (x + y) + z (b) x (y z) = (x y) z
          1. 4.- Asociatividad. La unión y la intersección de conjuntos son asociativas, ya que para cualesquiera tres conjuntos A, B, C: A U (B U C) = (A U B) U C y A Ç (B Ç C) = (A Ç B) Ç C
            1. CIRCUITOS DE CONMUTACIÓN
              1. 4.- Asociatividad. Las conexiones en serie y en paralelo son asociativas, es decir, al conectar tres switches en paralelo, no importa cual par se conecte primero. En forma similar pasa con la conexión de tres switches en serie
          2. Postulado 5. Distributividad. Para cada x, y, z en B: (a) x+(y z)=(x+y) (x+z) (b) x (y+z)=(x y)+(x z)
            1. 5.- Distributividad. La unión de conjuntos es distributiva sobre la intersección, y viceversa, la intersección es distributiva sobre la unión, ya que para cualesquiera tres conjuntos A, B, C: A U (B Ç C) = (A U B) Ç (A U C) y A Ç (B U C) = (A Ç B) U (A Ç C)
              1. CIRCUITOS DE CONMUTACIÓN
                1. 5.- Distributividad. La conexión serie es distributiva sobre la conexión en paralelo y la conexión paralelo es distributiva sobre la conexión en serie, en el sentido que se ilustra en la figura siguiente
            2. Postulado 6. Existencia de Complementos. Para cada x en B existe un elemento único denotado x (también denotado x’), llamado complemento de x tal que (a) x+x = 1 (b) x x = O
              1. 6.- Existencia de complementos. El conjunto complemento Ac cumple con las propiedades deseadas: A U Ac = U y A Ç Ac = F
                1. CIRCUITOS DE CONMUTACIÓN
                  1. 6.- Existencia de complementos. Se puede fabricar un switch A complemento de otro switch A simplemente acoplando mecánicamente ambos, para que cuando uno se abra el otro se cierre y viceversa.
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