Teoría de conjuntos

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• en este conjunto los elementos o miembros que los conforman pueden ser enumerados o contados. Por ejemplo, el agrupamiento de todas las letras del abecedario confirmaría un conjunto de esta clase

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• en estos conjuntos, los miembros que lo conforman no pueden ser enumerados ni contados. Un ejemplo de conjunto infinito sería todos los granos de arena del planeta.

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• estos conjuntos están conformados por un solo miembro o elemento, por ejemplo, la letra A.

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• estos conjuntos carecen de elementos o bien, estos son inexistentes, por ejemplo un unicornio, en el caso del elemento inexistente.

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• Un conjunto queda perfectamente definido si se conocen con exactitud los elementos que lo integran o que pertenecen a él; es decir, si se nombran todos sus elementos o bien si se usa un enunciado o propiedad que lo identifique. Independientemente de la forma en que se lo represente, siempre se usa una letra mayúscula que lo define. Esta letra mayúscula representa a un conjunto específico de elementos. Existen dos maneras de definir un conjunto dado: a) Por extensión o enumeración: se define nombrando a cada elemento del conjunto. b) Por comprensión: se define mediante un enunciado o atributo que representa al conjunto (se busca una frase que represente a la totalidad de elementos sin nombrar a ninguno en particular).
• Por comprensión: A = {Números dígitos} B = {Números pares} C = {Múltiplos de 5} Por extensión: A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} B = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, ...} C = {5, 10, 15, 20, 25, 30, 35...}

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• LA NOTACIÓN DE CONJUNTO es una manera de decir cuál está en un conjunto. El conjunto se nombra generalmente con una mayúscula como esto: A = {definición del conjunto}1 La definición del conjunto está dentro de las llaves: {}. Hay dos estilos de la definición del conjunto que pueden estar en llaves.Lista: Si un conjunto tiene apenas algunos elementos, el conjunto puede ser definido enumerando todos los elementos: B = {libro, lápiz, borrador}2 En esta definición, el conjunto B tiene tres elementos: libro, lápiz, y borrador.Regla: Un conjunto se puede definir por una regla. Mientras que esta regla puede simplemente ser una oración por ejemplo {El conjunto de toda la roca en mi jardín.}, los símbolos de la matemáticas se utilizan típicamente: C = { x | x ∈ ℕ, x < 20 }3 Conjunto C contiene todos los números naturales menos de 20.

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•  Cuando es una discusión se toma un conjunto como referencial, se llama universal y se nota por una U. En consecuencia, cualquier conjunto puede servir de universal o referencial.   

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• Dos conjuntos ( A y B) son iguales cuando tienen los mismos elementos. En consecuencia, un conjunto solo puede ser igual así mismo.   EJEMPLO:   A = {X E N ­/ X < 13} B = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}  
• Si todo elemento de un conjunto A es también elemento de un conjunto B, entonces se dice que A es un subconjunto de B. Más claro: A es un subconjunto de B si xεA implica xεB. Se denota esta relación escribiendo:  A < B   Se puede leer “A esta contenido en B”   

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• En matemáticas, el conjunto potencia de un conjunto dado es otro conjunto formado por todos los subconjuntos del conjunto dado. Por ejemplo, dado el conjunto:   A= {1, 2,3}   el conjunto potencia es:   P(A) = { Ø {1},{2},{3},{1,2},{2,3},{1,3},{1,2,3}}   El conjuntopotencia de A  también se denomina conjunto de las partes de A, o conjunto de partes de A y se denota por P(A) donde 2 A es el cardinal de las partes de A , es decir, P(A) = 2 A    

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• La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por la reunión de los elementos de los dos conjuntos en uno solo. Esta operación se denota como: X E A 
• En forma simbólica, esta operación se puede definir como: = {x/ X E A o X E B } La lectura de esta expresión puede ser: "La unión de los conjuntos A y B es el conjunto de todas las x que pertenezcan al conjunto A o pertenezcan al conjunto B.

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• La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a ambos conjuntos. Esta operación se denota:  A n B
• En forma simbólica, esta operación se puede definir como: A n B = {x/ X E A y X E B  }

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• Sean dos conjuntos A y B cualesquiera, su diferencia es el conjunto que se forma con los elementos que pertenecen al primer conjunto, pero que no pertenecen al segundo. Al igual que la operación aritmética que llamamos diferencia o resta, la diferencia entre dos conjuntos no es conmutativa para .Denotamos la diferencia entre conjuntos como A - B o A \ B.
• En forma simbólica, la diferencia de dos conjuntos A y B se puede expresar de la manera siguiente: A - B = A \ B = {x/ X Є A y X ∉ A }.  

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• En teoría de conjuntos, la diferencia simétrica de dos conjuntos es una operación que resulta en otro conjunto cuyos elementos son aquellos que pertenecen a alguno de los conjuntos iniciales, sin pertenecer a ambos a la vez. Por ejemplo, la diferencia simétrica del conjunto de los números pares P y el conjunto de los cuadrados perfectos C es un conjunto D que contiene los cuadrados impares y los pares no cuadrados: P= {2,4,6,8,10,12,14,16} C= {1,4,9,16,25} D= {1,2,6,8,9,10,12,14,18}
• La diferencia simétrica de conjuntos se denota por Δ, por lo que P Δ C = D.

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• Si el conjunto universal es U = { a, b, c, d, e } y  A = { b, c, d }, entonces el complementario de A respecto de U está formado por los elementos del universal que no estén en A, esto es: Al = { a, e } Los conjuntos { a, e } y { b, c, d } son complementarios. En la figura de la derecha, está seńalado en verde el conjunto Al.