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Description
Mind Map by cristian mercado, updated more than 1 year ago
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Created by cristian mercado
about 7 years ago
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ESPACIO
VECTORIAL Y
SUB
ESPACIO
VECTORIAL
- SUB ESPACIO
VECTORIAL
- Sea H un subconjunto no vacío de un espacio
vectorial V y suponga que H es en sí un espacio
vectorial bajo las operaciones de suma y
multiplicación por un escalar definidas en V.
Entonces se dice que H es un sub espacio de V.
Existen múltiples ejemplos de sub espacio, sin
embargo, en primer lugar, se demostrará un
resultado que hace relativamente sencillo
determinar si un subconjunto de V es en realidad
sub espacio de V
- Teorema de sub espacio Un subconjunto no vacio
de H de un espacio vectorial V es un sub espacio de
V si se cumplen las dos reglas de cerradura: Reglas
de cerradura para ver si un subconjunto no vació
es un sub espacio i) Si x € H y y € H, entonces x + y
€ H. ii) Si x € H, entonces αx € H para todo escalar α.
Es obvio que si H es un espacio vectorial,
- PROPIEDADES DE SUB ESPACIO VECTORIAL 1). El
vector cero de V está en H.2 2). H es cerrado bajo
la suma de vectores. Esto es, para cada u y v en
H, la suma u + v está en H. 3). H es cerrado bajo
la multiplicación por escalares. Esto es, para cada
u en H y cada escalar c, el vector cu está en H.
- BASES Y DIMENSIÓN Definición: Base. Se llama base de un espacio (o subespacio)
vectorial a un sistema generador de dicho espacio o subespacio, que sea a la vez
linealmente independiente.
- Propiedades de las bases. 1. Una base de S es un sistema generador minimal de S (lo
más pequeño posible). 2. Además es un conjunto independiente maximal dentro de S
(lo más grande posible). 3. Una base de S permite expresar todos los vectores de S
como combinación lineal de ella, de manera única para cada vector.
- Teorema. En un espacio o subespacio de dimensión m, • un conjunto de más de m vectores nunca
puede ser linealmente independiente. • un conjunto de menos de m vectores nunca puede ser sistema
generador.
- Teorema. En un espacio o subespacio de dimensión m, • un conjunto de más de m vectores nunca
puede ser linealmente independiente. • un conjunto de menos de m vectores nunca puede ser sistema
generador.
- Propiedades de las bases. 1. Una base de S es un sistema generador minimal de S (lo
más pequeño posible). 2. Además es un conjunto independiente maximal dentro de S
(lo más grande posible). 3. Una base de S permite expresar todos los vectores de S
como combinación lineal de ella, de manera única para cada vector.
- BASES Y DIMENSIÓN Definición: Base. Se llama base de un espacio (o subespacio)
vectorial a un sistema generador de dicho espacio o subespacio, que sea a la vez
linealmente independiente.
- PROPIEDADES DE SUB ESPACIO VECTORIAL 1). El
vector cero de V está en H.2 2). H es cerrado bajo
la suma de vectores. Esto es, para cada u y v en
H, la suma u + v está en H. 3). H es cerrado bajo
la multiplicación por escalares. Esto es, para cada
u en H y cada escalar c, el vector cu está en H.
- Teorema de sub espacio Un subconjunto no vacio
de H de un espacio vectorial V es un sub espacio de
V si se cumplen las dos reglas de cerradura: Reglas
de cerradura para ver si un subconjunto no vació
es un sub espacio i) Si x € H y y € H, entonces x + y
€ H. ii) Si x € H, entonces αx € H para todo escalar α.
Es obvio que si H es un espacio vectorial,
- Sea H un subconjunto no vacío de un espacio
vectorial V y suponga que H es en sí un espacio
vectorial bajo las operaciones de suma y
multiplicación por un escalar definidas en V.
Entonces se dice que H es un sub espacio de V.
Existen múltiples ejemplos de sub espacio, sin
embargo, en primer lugar, se demostrará un
resultado que hace relativamente sencillo
determinar si un subconjunto de V es en realidad
sub espacio de V
- ESPACIO
VECTORIAL
- Un espacio vectorial real V es un conjunto de
objetos, denominados vectores, junto con dos
operaciones binarias llamadas suma y
multiplicación por un escalar y que satisfacen los
diez axiomas enumerados a continuación.
Notación. Si “x” y “y” están en V y si a es un
número real, entonces la suma se escribe como
“x + y” y el producto escalar de a y x como ax.
- 1. Propiedad asociativa (+): (u + v) + w = u + (v + w), ∀ u, v, w ∈ V
…. 2. Propiedad conmutativa: u + v = v + u, ∀ u, v, ∈ V
- 3. Existencia de elemento neutro: ∃ 0 ∈ V | 0 + v = v, ∀ v ∈ V …………….
4. Existencia de elemento opuesto: ∀ v ∈ V ∃ -v ∈ V | v + (-v) = 0
- 5. Propiedad distributiva I: a • (u + v) = a • u + a • v, ∀ a ∈ R, ∀ u, v ∈ V
….. 6. Propiedad distributiva II: (a + b) • v = a • v + b • v, ∀ a, b ∈ R, ∀ v ∈
V
- 7. Propiedad asociativa (•): a • (b • v) = (ab) • v, ∀ a, b ∈ R, ∀ v ∈ V ………………..
8. Elemento unidad: 1 • v = v, ∀ v ∈ V
- 7. Propiedad asociativa (•): a • (b • v) = (ab) • v, ∀ a, b ∈ R, ∀ v ∈ V ………………..
8. Elemento unidad: 1 • v = v, ∀ v ∈ V
- 5. Propiedad distributiva I: a • (u + v) = a • u + a • v, ∀ a ∈ R, ∀ u, v ∈ V
….. 6. Propiedad distributiva II: (a + b) • v = a • v + b • v, ∀ a, b ∈ R, ∀ v ∈
V
- 3. Existencia de elemento neutro: ∃ 0 ∈ V | 0 + v = v, ∀ v ∈ V …………….
4. Existencia de elemento opuesto: ∀ v ∈ V ∃ -v ∈ V | v + (-v) = 0
- 1. Propiedad asociativa (+): (u + v) + w = u + (v + w), ∀ u, v, w ∈ V
…. 2. Propiedad conmutativa: u + v = v + u, ∀ u, v, ∈ V
- Un espacio vectorial real V es un conjunto de
objetos, denominados vectores, junto con dos
operaciones binarias llamadas suma y
multiplicación por un escalar y que satisfacen los
diez axiomas enumerados a continuación.
Notación. Si “x” y “y” están en V y si a es un
número real, entonces la suma se escribe como
“x + y” y el producto escalar de a y x como ax.
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