ESPACIO VECTORIAL

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1. es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una operación interna (llamada suma, definida para los elementos del conjunto) y una operación externa (llamada producto por un escalar, definida entre dicho conjunto y otro conjunto, con estructura de cuerpo ), con 8 propiedades fundamentales
2. PROPIEDADES
   1. 1. Propiedad asociativa (+): (u + v) + w = u + (v + w), ∀ u, v, w ∈ V . 2. Propiedad conmutativa: u + v = v + u, ∀ u, v, ∈ V . 3. Existencia de elemento neutro: ∃ 0 ∈ V | 0 + v = v, ∀ v ∈ V . 4. Existencia de elemento opuesto: ∀ v ∈ V ∃ -v ∈ V | v + (-v) = 0. 5. Propiedad distributiva I: a · (u + v) = a · u + a · v, ∀ a ∈ R, ∀ u, v ∈ V . 6. Propiedad distributiva II: (a + b) · v = a · v + b · v, ∀ a, b ∈ R, ∀ v ∈ V . 7. Propiedad asociativa (·): a · (b · v) = (ab) · v, ∀ a, b ∈ R, ∀ v ∈ V . 8. Elemento unidad: 1 · v = v, ∀ v ∈ V .
3. SUBESPACIOS VECTORIALES
   1. Sea V un espacio vectorial y sea U un subconjunto no vac´ıo de V . Decimos que U es un subespacio vectorial de V si U es en s´ı mismo un espacio vectorial con las operaciones inducidas de V . Lo denotaremos como U ≤ V .
      1. PROPOSICION
         1. Sea V un espacio vectorial y sea ∅ 6= U ⊆ V . Entonces U es un subespacio vectorial de V si y s´olo si las operaciones suma y producto por un escalar est´an bien definidas. Es decir, si y s´olo si para cualesquiera u, v ∈ U y k ∈ R se tiene que u + v ∈ U y ku ∈ U. Todo espacio vectorial V tiene al menos dos subespacios vectoriales distintos: U = V y U = {0}. Estos dos subespacios se conocen como subespacios impropios mientras que el resto de subespacios intermedios se llaman subespacios propios.
4. CONCEPTOS DE BASE Y DIMENSION
   1. Se dice que V es un espacio vectorial de dimensi´on finita si existe un conjunto finito de vectores S = {v1, ..., vk} ⊆ V de modo que cualquier otro vector v ∈ V se pueda expresar como una combinaci´on lineal de los elementos de S. En este caso, se dice que el conjunto S es un sistema de generadores o un sistema generador de V
      1. COORDENADAS
         1. Dado un sistema generador S de V y un vector cualquiera v ∈ V , en general no hay una ´unica manera de expresar v como combinaci´on lineal de los elementos de S. Sin embargo, esta combinaci´on lineal es ´unica en el caso en que S sea una base de V .