Optik - Zusammenfassung

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Mathematik Note on Optik - Zusammenfassung, created by Paula Raithel on 10/03/2016.

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1.1 OptikDie Optik befasst sich mit den Eigenschaften von Licht.Diese entsteht durch Elektronenübergänge in einem Atom. Dabei werden Elektronen in einen höheren angeregten Energiezustand gehoben, manchmal so stark, dass die Elektronen ganz aus dem Atom entfernt werden. Die entstandenen Elektronenlücken werden mit Elektronengefüllt, die aus den äußeren Schalen nachrücken. Diese Elektronen kommen damit auf einen niedrigeren Energiezustand und die freiwerdende Energie wird als Licht abgestrahlt. Die freiwerdende Energie kann nicht jede beliebige Gesamtmenge haben, sondern nur in Stufen (Quanten) zu- und abnehmen.Das Anregen der Atome zur Lichtabstrahlung geschieht meistens durch Hitze (z.B. Flamme, Glühwendel).1.1.1 Eigenschaften des LichtesLicht stellt eine elektromagnetische Welle dar, deren „Bausteine“ Photonen sind.In der der Physik bezeichnet man mit Photon (griechisch: phos = Licht) die elementare Anregung (Quant) des elektromagnetischen Feldes. Ein Photon ist jedoch kein „klassisches“ Teilchen.Photonen sind unendlich lang und haben eine fix definierte Frequenz und Wellenlängesowie eine feste Energie die ausschließlich von der Wellenlänge abhängt.Photonen als Bausteine elektromagnetischer Strahlung besitzen aber nicht nur die Eigenschaften einerStrahlung, sondern auch die einer Welle. Diese beiden Eigenschaften werden ein den beiden großenBereichen der Optik (Strahlenoptik und Wellenoptik) behandelt. Licht stellt somit auch eine elektromagnetische Welle dar, die transversal (also senkrecht) zur Ausbreitungsrichtung schwingt.Im Gegensatz zu transversal schwingenden Wellen gibt es auch noch Logitudinalwellen; das sind Wellen, die in Richtung ihrer Ausbreitung schwingen und auf ein Medium angewiesen sind. Wichtige Formen von Longitudinalwellen sind etwa Stoßwellen und Schallwellen. Im Gegensatz zu longitudinalen Schallwellen können sich die transversale Lichtwellen daher auch ohneMaterie also im Vakuum ausbreiten.• Die Welleneigenschaft des Lichts wird durch die Intensität und Wellenlänge charakterisiert.• Die Strahleneigenschaft hingegen durch die Richtung und die Geschwindigkeit derelektromagnetischen Welle.

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1.1.2 Strahlenoptik In der Strahlenoptik oder geometrischen Optik steht die Strahleneigenschaft des Lichtes im Vordergrund. Das Licht wird als aus vielen Lichtstrahlen zusammengesetzt betrachtet. Eine Lichtquelle sendet Lichtstrahlen divergent in alle Richtungen des Raumes aus, in homogenen Medien breiten sich diese geradlinig aus. Die Geschwindigkeit des Lichtstrahls hängt von der Dichte des Mediums ab in dem er sich ausbreitet. Im Vakuum ist die Lichtgeschwindigkeit daher am höchsten und beträgt 299.792,458 km/s. Die Vakuumlichtgeschwindigkeit ist eine Naturkonstante und wird mit „c“ bezeichnet; sie gibt nach Einsteins Relativitätstheorie die maximal erreichbare Geschwindigkeit an, die nicht nur von Licht, sondern auch von jeder anderen Form der Energie erreicht werden kann. Strahlenoptik kann zur Erklärung von Brechung und Reflexion herangezogen werden, nicht jedoch für Interferenz, Beugung und Polarisation des Lichtes. Dazu wird das Wellenmodell des Lichts benötigt. 1.1.2.1 Lichtbrechung Lichtstrahlen ändern an Grenzflächen von unterschiedlich dichten Medien ihre Richtung und ihre Geschwindigkeit. Bei der Richtungsänderung spricht man auch von Lichtbrechung. Brechungsindex ist das Verhältnis der Lichtgeschwindigkeit im Medium zur Vakuumlichtgeschwindigkeit Brechungsindex (n):• Luft: 1,0003 • Wasser: 1,333 • Quarzglas: 1,459 • Immersionsöl: ca. 1.515 • Flintglas: 1,613 • Diamant: 2,417 Hier ist anzumerken, dass Licht höherer Frequenz (bzw. kürzerer Wellenlänge) stärker gebrochen wird als Licht mit einer niedrigeren Frequenz. Snelliussches Brechungsgesetz Dieses besagt, dass ein Lichtstrahl seine Richtung ändert gebrochen wird wenn er in ein Medium mit anderer Dichte (Phasengeschwindigkeit) übergeht. Das Gesetz besagt nur, in welche Richtung der Lichtstrahl abgelenkt wird, nicht aber, wie viel am Übergang zwischen den beiden Medien transmittiert bzw. reflektiert wird. Im Fall der Totalreflexion ist das reelle Brechungsgesetz ungültig. Die Ein- bzw. Ausfallswinkel des Lichts werden dabei immer zum senkrecht auf die Mediengrenze stehenden Lot angegeben. • Vom optisch dünnen ins optisch dichte Medium: Brechung zum Lot • Vom optisch dichten ins optisch dünne Medium: Brechung vom Lot Brechung zum Lot Eine Brechung zum Lot tritt beim Übergang des Lichtes von einem optisch dünneren in ein optisch dichteres Medium auf. (zB von Luft in Glas) Der Einfallswinkel ist immer größer als der Ausfallswinkel! sin α > sin β c1 > c2 Brechung vom Lot Beim Übergang von einem optisch dichteren in ein optisch dünneres Medium kommt es zu einer Brechung vom Lot. Der Einfallswinkel immer kleiner als der Ausfallswinkel. sin α < sin β c1 < c2 Sonderfall: Totalreflexion Übersteigt der Einfallswinkel, beim Übergang vom optisch dichteren ins optisch dünnere Medium, einen bestimmten Wert (Grenzwinkel der Totalreflexion) kann keine Brechung mehr auftreten, da der Brechungswinkel maximal 90° (und der Sinus des Brechungswinkels maximal 1) betragen kann. Bei allen Einfallswinkeln, die über diesem Grenzwert liegen, wird daher das gesamte Licht reflektiert; die Grenzfläche verhält sich in diesem Fall wie ein Spiegel. Man spricht daher von einer Totalreflexion. Totalreflexion wird z.B. in Umlenkprismen ausgenutzt; diese Glasprismen werden in Mikroskopen verwendet, um den Lichtstrahl in bestimmte Richtungen zu lenken. Die Totalreflexion ist auch dafür verantwortlich, dass Diamanten funkeln. Das eintretende Licht tritt an vielen Stellen aus, wenn der Diamant richtig geschnitten ist.

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1.1.2.2 Reflexion An jeder Grenzfläche zwischen zwei Medien wird entweder ein Teil oder bei Totalreflexion das gesamte Licht reflektiert. Je nach Beschaffenheit der Oberfläche erfolgt diese Reflexion spiegelnd oder diffus. In jedem Fall gilt aber für jeden einzelnen Strahl das Reflexionsgesetz: Einfallswinkel = Reflexionswinkel α = β Bei senkrechtem Lichteinfall werden an metallischen Oberflächen ca. 90%, an Glasflächen gegen Luft ca. 4% reflektiert. Der Rest des Lichtes kann durchgelassen oder im Medium absorbiert werden. Parabolspiegel In einen Parabol- oder Hohlspiegel verhält sich jeder Punkt der inneren Oberfläche so wie eine ganz kurze Gerade an der das Licht reflektiert wird. • Strahlen parallel zur optischen Achse werden zum Brennpunkt reflektiert. • Strahlen durch den Brennpunkt werden parallel zur optischen Achse reflektiert. • Strahlen durch den Mittelpunkt werden in sich selbst reflektiert. Die Lichtstrahlen folgen dabei dem Superpositionsgesetz; Dieses besagt, dass sich Lichtstrahlen gegenseitig durchdringen können, ohne sich zu stören oder zu beeinflussen. Praktische Anwendung findet dieses Prinzip zum Beispiel bei Spiegel-Ojektiven.

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1.1.3 optische Linsen Als Linse bezeichnet man ein optisch wirksames Bauelement mit zwei lichtbrechenden Flächen, von denen mindestens eine Fläche konvex oder konkav gewölbt ist. Eine gedachte Linie, auf welcher die Krümmungsmittelpunkte der Linsenflächen liegen, wird als Optische Achse bezeichnet. Jede Linse hat einen Brennpunkt (Focus) in dem alle Lichtstrahlen gesammelt werden. 1.1.3.1 Linsenformen Bei den einfachsten Linsen sind die beiden optisch aktiven Flächen sphärisch. Das heißt, sie sind Oberflächenausschnitte einer Kugel. Daher kann man diesen Flächen Krümmungsradien zuordnen. Je größer dieser Radius wird, desto kleiner muss daher auch die Linse werden; daraus ergibt sich eine bestimmte Grenze beim Krümmunsradius. Jede Linsenfläche kann konvex, konkav oder plan (eben) sein: • konvex: die Fläche ist nach Außen gewölbt • konkav: die Fläche ist nach Innen gewölbt • plan: eine ebene Fläche wird durch einen unendlichen Krümmungsradius beschrieben Sammellinsen Bikonvexe und plan-konvexe Linsen wirken als Sammellinsen; parallel einfallende Lichtstrahlen werden idealerweise in einem Punkt, dem Fokus oder Brennpunkt (F), gesammelt. Der Abstand zwischen Linsenmitte und dem Brennpunkt ist die Brennweite (f). Zerstreuungslinsen Plan-konkave und bikonkave Linsen wirken als Zerstreuungslinsen; einfallende Parallelstrahlen laufen scheinbar vom Brennpunkt auf der Einfallseite des Lichtes auseinander.1.1.3.2 Bildkonstruktion Für die Konstruktion eines Bildes benötigt man zwei Strahlen. • den Zentralstrahl: Er geht vom Objekt aus und schneidet die optische Achse ohne Richtungsänderung in der Mitte der Linse • den Parallelstrahl: Er fällt parallel zur optischen Achse ein. Bei Sammellinsen wird er stets zum Brennpunkt hin gebrochen und bei Zerstreuungslinsen scheint es als käme er vom rückwärtigen Brennpunkt. Abbildung durch Sammellinsen Beim Durchtritt durch eine konvexe Linse schneiden sich Zentralstrahl und Parallelstrahl in einem Punkt hinter der Linse. Dieser Schnittpunkt definiert den Ort des Bildes. Eine Sammellinse bildet also einen Gegenstand ab, indem sie ein reelles Bild erzeugt, das mit einer Kamera aufgefangen oder auf einem Schirm sichtbar gemacht werden kann. Abbildung durch Zerstreuungslinsen Da die Lichtstrahlen durch eine konkave Linse zerstreut werden, kann sie kein reelles Bild produzieren. Betrachtet man ein Objekt durch eine Zerstreuungslinse, so scheinen alle Lichtstrahlen von einem verkleinerten virtuellen Bild vor der Linse zu kommen. In diesem Punkt schneiden sich der Zentralstrahl und der nach hinten verlängerte Parallelstrahl. Gegenstandsweite und Bildweite Die Gegenstandsweite beschreibt den Abstand zwischen dem abzubildenden Objekt und der optischen Linse bzw. dem optischen Systems. Die Bildweite dagegen stellt die Entfernung des erzeugten Bildes zum optischen System dar.

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1.1.3.3 Linsengleichung und Abbildungsmaßstab Mit der Linsengleichung, auch Abbildungsgleichung genannt, kann man die optische Abbildung einer idealen Linse berechnen. Für die Strahlenkonstruktion betrachten wir wichtigen Lichtstrahlen: Parallelstrahl, Brennpunktstrahl und Zentralstrahl bei einer dünnen (ideale) Linse. Setzen wir nun die Bildgröße B (Bild im Mikroskop oder auf dem Film) mit der Größe des Objekts G (betrachteter oder fotografierter Gegenstand) in Beziehung so erhalten wir den Abbildungsmaßstab (A). In Folge entspricht das Verhältnis von Abbildungsgröße zu Objektgröße dem Verhältnis von Bildweite (b) zu Gegenstandsweite (g). Wendet man den Strahlensatz der Geometrie auf den Brennpunktstrahl und die sich mit ihm im Brennpunkt kreuzende optische Achse an, so erhält man: B G = b f f oder b g = b f f Mit einer Division durch b und Umordnen der Gleichung erhält man folgende Beziehung die als Linsen- oder Abbildungsgleichung bezeichnet wird. 1 b  1 g = 11.1.3.4 Linsenfehler Durch Abweichungen von den in den vorhergehenden Kapiteln dargestellten idealen optischen Abbildungen entsteht ein unscharfes oder verzerrtes Bild. Diese optischen Abbildungsfehler (Aberrationen) treten vor allem bei Einzellinsen mit sphärischen Oberflächen (Schnitt aus einer Kugel) auf und können durch spezielle Linsen-Konstruktionen behoben werden. • sphärische Aberration • chromatische Aberration • Bildfeldwölbung • Verzeichnung • Koma sphärische Abberation Sphärische Aberration (Öffnungsfehler) ist ein Abbildungsfehler der bei einfachen Linsen auftritt, die mit sphärischer Krümmung geschliffen sind. Lichtstrahlen, die durch die Randzonen der Linse gehen, werden stärker gebrochen und in einem der Linse näher liegendem Brennpunkt fokussiert als mittig einfallende Lichtstrahlen; die Folge ist ein leicht verschwommenes, unscharf wirkendes Bild. Korrektur: • Da Lichtstrahlen, die den Rand der Linse passieren, am meisten zur Unschärfe beitragen, kann der Fehler am einfachsten durch Abblenden der Randstrahlen verringert werden. • Bei asymmetrisch sphärischen Linsen (Linsen mit zwei unterschiedlichen Krümmungsradien) kann durch die Orientierung der Linse die Sphärische Aberration gehoben werden. Bei „Linsen bester Form“ wird dabei die effektive Brechkraft gleichmäßig auf beide Grenzflächen verteilt, was zu einer nahezu fehlerfreien Abbildung führt. Bei der Verwendung von asphärischen Linsen tritt dieser Fehler nicht auf, da bei ihnen der Radius der Oberflächen nicht konstant ist, sondern von der Mitte zum Rand hin abnimmt. Diese Variante zeigt die beste Korrektur der Sphärischen Aberration, sie ist jedoch auch mit Abstand die teuerste. chromatische Aberration Die Chromatische Aberration (Farblängsfehler) tritt auf, weil am Rand der Linse Licht unterschiedlicher Wellenlänge verschieden stark gebrochen und wie bei einem Prisma in seine spektralen Bestandteile aufgespalten wird; dieser Effekt führt zu Farbsäumen am Bildrand. Korrektur: • Da wiederum der Rand der Linse den Großteil der Aberration verursacht, kann der Fehler wie bei der sphärischen Aberration am leichtesten durch die Verwendung einer Blende gehoben werden. • Für hochwertigere Optiken wird die Korrektur durch die Kombination von zwei Linsen erreicht, welche zusammen einen so genannten Achromaten bilden. Die Linsen werden dabei so gewählt, dass die Linsengruppe für mehrere Wellenlängen annähernd die gleiche Brennweite besitzt. Je nach verwendeten Glassorten können 2 oder 3 Farben zusammengeführt werden. Achromat: die Linsen und Glassorten sind so gewählt, dass der rote und der blaugrüne Spektralteil zusammenfällen Bei der Bildfeldwölbung wird das Bild nicht eben auf einer Fläche, sondern gewölbte abgebildet. Man kann das Bild somit nicht an allen Punkten gleichzeitig scharf stellen; wenn man auf die Bildmitte scharfstellt, ist der Rand unscharf und umgekehrt. Dieser Fehler entsteht weil Punkte am Rand der Linse näher zur optischen Achse abgebildet werden als Mittige. Korrektur: • Durch die Verwendung einer Blende können die Randbereiche ausgeblendet werden; die Schärfentiefe wird dabei höher und die Bildfeldwölbung verliert an Bedeutung. • Bei hochwertigen Optiken wird die Korrektur durch die Kombination mehrerer Linsen erreicht. Unter Verzeichnung versteht man die nicht maßstabsgetreue Abbildung eines Objektes. Dieser Fehler entsteht durch einen veränderten Abbildungsmaßstab bei weit von der optischen Achse entfernten Bildpunkten. Daraus resultiert, dass Linien die nicht durch den Bildmittelpunkt verlaufen gekrümmt dargestellt werden. Je nachdem ob der Abbildungsmaßstab zum Bildrand hin zu- oder abnimmt erhält man eine kissen- oder tonnenförmige Verzeichnung. Besonders stark tritt dieser Fehler in der Fotografie bei extremen Tele- oder Weitwinkelojektiven (Fish-eye) auf.Korrektur: • Eine Korrektur ist nur mit speziellen Objektiven aus mehreren Linsen möglich, ein Abblenden der Randstrahlen zeigt in diesem Fall keinen Effekt. Koma Lichtstrahlen eines Objektes abseits der optischen Achse treffen als paralleles Strahlenbündel schräg auf die Linse und werden auch schräg wieder gebündelt. Bei unkorregierten Optiken kann es zu einer verzerrten Abbildung kommen. Das Objekt wird mit einem zum Rand hin verlaufenden Schweif abgebildet. Durch Abblenden der Randstrahlen ist eine leichte Hebung des Fehler möglich, eine vollständige Korrektur kann nur durch speziell konstruierte Optiken erfolgen; diese aufwendigen Linsensysteme werden als aplanat bezeichnet.

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