Themen der Vektorrechnung II

Punktrichtungsgleichung

Von den Koordinatensystemen her wisst ihr inzwischen hoffentlich, was ein Punkt ist: In der Ebene zum Beispiel P(3;4) oder im Raum zum Beispiel P(2;1;3). Und Vektoren kennt ihr in Zwischenzeit ebenfalls, sowohl in der Ebene als auch im Raum. Zur Erinnerung: Der Vektor gibt euch eine Richtung an. Dieses Wissen kombinieren wir im nun Folgenden.

Beispiel:

Gegeben sei eine Gerade durch einen bestimmten Punkt mit einem Richtungsvektor. Die Punktrichtungsgleichung soll aufgestellt werden. Seht euch dazu einmal die folgende Berechnung an. Einige Erklärungen dazu folgen im Anschluss.

Gerade durch zwei Punkte

Die Idee hinter der Zwei-Punkte-Form ist ganz einfach: Es soll eine Gerade gefunden werden, die durch zwei vorgegebene Punkte läuft. Die Frage lautet nun: Wie berechne ich diese Gerade? Die Lösung dazu liefert die folgende Formel, deren Anwendung gleich noch durch ein Beispiel erklärt wird.

Punkt zu Gerade: Abstand berechnen

In diesem Artikel sollt ihr lernen, wie man den Abstand zwischen einer Gerade und einem Punkt berechnet. Ganz wichtig dabei: Wir suchen den kürzesten Abstand! Die folgende Grafik zeigt euch dies: Von der Gerade g wird im rechten Winkel der Abstand zum Punkt Q markiert.

Abstand paralleler Geraden

Lage von Geraden zueinander

Zwei Geraden können verschiedene Lagen zueinander einnehmen:

1. Zwei Geraden liegen aufeinander
2. Beide Geraden sind zueinander parallel
3. Die beiden Geraden schneiden sich in einem Punkt
4. Die beiden Geraden sind windschief ( verlaufen weder parallel noch schneiden sich )

In diesem Artikel interessieren wir uns für den Fall Nummer 2: Die Geraden sind zueinander parallel. Dies sieht dann wie folgt aus:

Schnittpunkt zweier Geraden

Schnittpunkt berechnen

In diesem Artikel sollt ihr lernen, wie man den Schnittpunkt zweier Geraden berechnet. Zunächst will ich kurz auf die allgemeine Vorgehensweise eingehen. Anschließend sollte ein Beispiel für die bessere Verständlichkeit sorgen.

Allgemeine Vorgehensweise:

1. Wir haben zwei Geraden, deren Schnittpunkt wir finden möchten
2. Wir führen ein Gleichsetzen durch
3. Wir stellen ein lineares Gleichungssystem auf
4. Wir lösen dieses Gleichungssystem
5. Mit dem Ergebnis berechnen wir den Schnittpunkt

Beispiel:
Zur besseren Verdeutlichung der Vorgehensweise, soll im nun folgenden der Schnittpunkt zweier Geraden berechnet werden. Dabei halten wir uns an den 5-Punkte-Plan, den ihr eben erhalten habt.

Schnittwinkel zweier Geraden

Schnittwinkel berechnen

Es mag den meisten völlig logisch erscheinen, der Vollständigkeit halber muss man jedoch eine Bedingung für die Berechnung des Schnittwinkels zweier Geraden angeben: Die beiden Geraden müssen sich überhaupt schneiden. Wenn wir zwei Geraden im Raum haben, die sich nirgends schneiden, ist es schwachsinnig, für diese einen Schnittwinkel zu berechnen. Sofern in der Aufgabenstellung nicht explizit angegeben ist, dass sich zwei Geraden schneiden, könnt ihr dies selbst prüfen.

Ist nun sicher gestellt, dass es einen Schnittpunkt gibt, kann man nun mit der Berechnung des Schnittwinkels beginnen. Dazu als erstes eine kleine Grafik, gefolgt von der Formel zur Berechnung des Winkels: