Insiemi, numeri ed operazioni:

INSIEME= collezioni di oggetti (detti membri o elementi), il concetto di insieme ed elemento di un insieme sono concetti primitivi: possono essere definiti tramite concetti più semplici.

Un insieme A risulta definito quando esiste una regola specifica he permette di stabilire se qualunque elemento X appartiene o meno all'insieme A.

SIMBOLOGIA:

X appartiene ad A

X non appartiene ad A

A è contenuto in B

A è contenuto propriamente in A.

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DEFINIZIONI

Due insiemi A e B sono uguali quando contengono gli stessi elementi.
L'insieme vuoto è un insieme privo di elementi.

Può capitare che la definizione di un insieme non sia completa, ossia non consenta di definire in modo univoco l'insieme.

3. L'insieme ambiente o universo (indicato con U) contiene la totalità dei possibili elementi.

CORRISPONDENZE TRA INSIEMI

Dati due insiemi A e B, se esiste un criterio che permette di associare elementi di A con elementi di B, si dice che i due insiemi sono legati da una corrispondenza.

Questa corrispondenza può essere univoca: quando ad ogni elemento a di A corrisponde uno ed un solo elemento b di B, in questo caso è necessario che sia definita una legge che permette di decidere, preso un qualunque elemento di a appartenente ad A, qual è IL corrispondente di b appartenente a B. L'appartenenza univoca viene anche detta FUNZIONE o APPLICAZIONE.

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E' invece biunivoca: se ad ogni elemento di un insieme corrisponde uno ed un solo elemento dell'altro insieme e viceversa. Per affermare che tra due insiemi A e B vi è una corrispondenza biunivoca, è necessario che sia definita una legge che associa a ogni elemento a appartenente ad A uno ed uno solo di b appartenente a B e VICEVERSA ovvero a ogni elemento di b appartenente a B uno ed uno solo di a appartenente ad A. La corrispondenza biunivoca viene anche detta TRASFORMAZIONE tra A e B.

OPERAZIONI CON GLI INSIEMI

INTESEZIONE: l'insieme intersezione tra A e B è l'insieme degli elementi corrispondenti contemporaneamente ad A e a B.

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UNIONE: l'insieme unione di A e B è l'insieme degli elementi appartenenti ad A oppure a B , ossia ad almeno uno dei due insiemi.

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NUMERI NATURALI

I numeri naturali costituiscono un insieme infinito, generalmente indicato con il simbolo N.

Alla base dell'aritmetica si trovano le definizioni delle operazioni delle quali è importante conoscerne le proprietà.

In primo luogo è fondamentale sapere in che ORDINE vanno svolte le operazioni in una stessa espressione.

Il corretto ordine di priorità decrescente è il seguente:

parentesi
potenze e radici
moltiplicazioni e divisioni
addizioni e sottrazioni

* aggiungi schema pag. 663

DIVISIONE CON RESTO

Nell'insieme dei numeri naturali non è detto che il problema di dividere tra loro due numeri naturali a e b abbia soluzione "naturale".

L'operazione 12:4 ha come risultato il numero naturale 3 e può quindi essere effettuata dentro l'insieme dei numeri naturali, mentre 5:3, che non da come risultato un numero naturale non può essere effettuato dentro l'insieme dei numeri naturali.

Dati due numeri naturali a e b (detti dividendo e divisore), con a maggiore o uguale a b e b diverso da zero, si definisce divisione con resto l'operazione che consiste nel determinare due numeri naturali q e r (detti quoziente e resto), con r maggiore o uguale a 0 e minore a b, tali che a=q* b + r. Se r=0, a si dice divisibile per (o multiplo di ) b, mentre b è detto divisore (o fattore) di a.

Esistono alcuni criteri di divisibilità che consentono di stabilire se qualsiasi numero intero n sia divisibile o meno per 2,3,4,5,6,8,9 e 11.

*aggiungi schema pag.664

SCOMPOSIZIONE IN FATTORI PRIMI

La scomposizione in fattori primi di un numero naturale maggiore di 1 è la rappresentazione del numero stesso come prodotto dei suoi fattori primi.

126 è 126=2*3*3*7

Per scomporre un numero in questo modo si usa il metodo delle DIVISIONI SUCCESSIVE.

*aggiungi esempi

MCD E mcm

Il massimo comune divisore di due o più interi è il maggiore fra gli interi che dividono (senza resto) tutti i numeri dati. Il minimo comune multiplo di due o più interi è il minore fra gli interi multipli di tutti i numeri dati.

Per determinare l'MCD i due o più numeri li si scompone in fattori primi e si calcola il prodotto dei fattori primi comuni, ciascuno preso una volta sola con il minimo esponente con cui figura.

Per determinare l'mcm di due o più numeri li si scompone in fattori primi e si calcola il prodotto dei fattori primi comuni e non comuni, ciascuno preso una volta sola con il massimo esponente con cui figura.

*aggiungi esempi

NUMERI INTERI RELATIVI

Nell'insieme dei numeri naturali non è sempre possibile effettuare l'operazione di sottrazione fra due numeri, nel caso non sia possibile si introducono i numeri interi negativi e lo zero.

Gli infiniti numeri interi positivi, gli infiniti numeri interi negativi e o zero costituiscono l'insieme dei numeri interi relativi indicati con il simbolo Z.

L'introduzione dello zero rende necessaria la seguente osservazione: Negli interi, come in ogni altro insieme numerico, non si può dividere per zero già che l'operazione è priva di significato. L'operazione inversa ( zero diviso per un intero) da invece come risultato sempre zero. Nel caso della moltiplicazione vale a legge dell'annullamento del prodotto : il prodotto tra due numeri si annulla se almeno uno dei due è uguale a zero.

VALORE ASSOLUTO DI UN NUMERO RELATIVO

Il valore assoluto (o modulo) di un numero relativo a è una quantità positiva o nulla così definita:

/a/= a se a è maggiore o uguale a zero

/a/= -a se a è minore a zero

Il numero -a non è necessariamente negativo se a = -3 -> -a = -(-3)= 3>0

Due numeri relativi aventi lo stesso valore assoluto e segni contrari si dicono OPPOSTI (anche simmetrici o contrari).

Due numeri relativi aventi lo stesso segno si dicono CONCORDI.

Due numeri relativi aventi segno diverso dicono DISCORDI.

CONFRONTO TRA NUMERI RELATIVI

Due numeri relativi si dicono uguali se se hanno lo stesso valore assoluto e lo stesso segno.

Ogni numero positivo è maggiore di ogni numero negativo.

Tra due numeri positivi è maggiore quello che ha il valore assoluto maggiore, mentre tra due numeri negativi è maggiore quello che ha il valore assoluto minore.

Lo zero è minore di ogni numero positivo e maggiore di ogni numero negativo.

OPERAZIONI TRA NUMERI RELATIVI

Addizione di numeri relativi: se i due numeri sono concordi, si addizionano i valori assoluti e si mantiene lo stesso segno; se i due numeri sono discordi, si calcola la differenza tra i valori assoluti e si tiene il segno del numero con il valore assoluto maggiore.

Sottrazione tra numeri relativi: la sottrazione è l'operazione opposta all'addizione, quindi sottrarre un numero equivale ad addizionare il suo opposto. Conviene quindi trasformare la sottrazione in un'addizione ed utilizzarne le relative regole.

Moltiplicazione e divisione tra numeri relativi: si esegue la moltiplicazione o la divisione tra i valori assoluti e si tiene il segno positivo se i numeri sono concordi , negativo se sono discordi.

NUMERI RAZIONALI

Come abbiamo visto nell'insieme dei numeri interi relativi a volte non è possibile effettuare l'operazione di quoziente tra due numeri interi ad esempio 3 : 8 non ha soluzione in questo insieme di numeri. Per rendere possibile il quoziente anche nei casi in cui il dividendo non sia multiplo del divisore si introducono i numeri razionali.

Tutte le possibili frazioni (rapporti tra numeri interi relativi) costituiscono l'insieme dei numeri razionali.

I numeri razionali costituiscono quindi un insieme infinito indicato con il simbolo Q.

La frazione 3/8 è il rapporto tra l'intero 3 (numeratore) e l'intero 8 (denominatore).

*aggiungi simbologia pag.667

PROPRIETA' INVARIANTIVA E FRAZIONI EQUIVALENTI

La proprietà invariantiva valida nell'insieme N dei numeri naturali è valida anche nell'insieme Q dei numeri razionali.

Moltiplicando o dividendo i due termini di una frazione per uno stesso numero (diverso da zero) si ottiene una frazione equivalente a quella data.

Una frazione viene detta IRRIDUCIBILE o RIDOTTA AI MINIMI TERMINI quando i suoi termini sono primi tra loro. Per ridurre una frazione ai minimi termini si divide sia il numeratore che il denominatore per il loro MCD, questa operazione è anche detta semplificazione.

*aggiungi esempi

OPERAZIONI TRA FRAZIONI

Addizione e sottrazione tra frazioni: per addizionare o sottrarre fra loro due o più frazioni occorre che esse abbiano lo stesso denominatore. Si procede riducendo tutte le frazioni i minimi termini, si cerca poi il mcm dei denominatori. Una volta ridotte le frazioni si considera la somma o la differenza tra i denominatori.

Moltiplicazioni tra frazioni: il prodotto tra due o più frazioni è la frazione avente per numeratore il prodotto dei numeratori e per denominatore il prodotto dei denominatori considerando prima tutte le semplificazioni possibili.

Per quanto riguarda il segno vale la regola della tabella dei segni nelle operazioni tra numeri relativi.

Divisione tra frazioni: per dividere tra loro due frazioni si moltiplica la prima per la reciproca della seconda.

Confronto tra frazioni: per confrontare due frazioni occorre abbiano lo stesso denominatore, nel caso non lo avessero occorre trovare il minimo comune denominatore.

Se le frazioni da confrontare solo soltanto due basta moltiplicare di ogni una il suo nominatore per il suo denominatore e confrontare i risultati.

*aggiungi esempi

NUMERI DECIMALI E FRAZIONI GENERATRICI

Ogni numero razionale, ossia ogni frazione, può esser rappresentato anche sotto forma di numero decimale: è sufficiente dividere il numeratore per il denominatore. Il risultato potrebbe essere un numero intero, un numero decimale limitato o un numero decimale periodico illimitato.

Partendo da questo concetto possiamo dire che è possibile anche trovare la frazione generatrice partendo da un numero decimale limitato e non.

Se il numero decimale è limitato, si forma la frazione moltiplicando e dividendo i numero decimale per il numero costituito dalla cifra 1 seguita da tanti zeri quante sono le cifre decimali del numero dato, la frazione può essere poi ridotta ai minimi termini.

Se il numero decimale è illimitato, si forma la frazione avente per numeratore la differenza tra il numero costituito alla parte intera seguita dal periodo preso una sola volta, nel caso fosse presente l'antiperiodo il numeratore si forma considerando come primo numeratore tutto il decimale come numero unico e sottraendo la cifra creata dal numero intero più l'antiperiodo e , per denominatore, un numero composto da tanti 9 quante sono le cifre del periodo seguito da tante cifre zero quante sono quelle dell'antiperiodo.

*aggiungi un esempio pls

OPERAZIONI TRA NUMERI DECIMALI

Addizione e sottrazione: per addizionare o sottrarre fra loro due o più numeri decimali è conveniente allineare una sotto l'altra le virgole dei diversi numeri.

Moltiplicazione: per moltiplicare tra loro più numeri decimali si effettua il calcolo come se fossero interi. Il risultato avrà un numero di cifre decimali pari alla somma di tutte le cifre decimali dei fattori.

Divisione: per dividere tra loro due numeri decimali si moltiplicano sia il dividendo che il divisore per l'opportuno multiplo di dieci i modo che diventino entrambi interi, quindi si effettua la divisione nel modo usuale.

Confronto tra numeri decimali: occorre aggiungere degli zeri in modo che i numeri abbiamo lo stesso numero di cifre dopo lo zero. Si effettua poi il confronto nella maniera usuale.

PERCENTUALI

Le percentuali sono in sostanza delle frazioni: per cento è un sinonimo di centesimi, pertanto una percentuale è una frazione con denominatore pari a cento.

Per convertire un numero in percentuale lo si moltiplica per cento, mentre per convertire una percentuale in numero lo si divide per cento.

*aggiungi formula pag. 671

PROBLEMI DI SCONTO

A quanto ammontalo sconto se un'automobile che costa 12000 euro è scontata al 15% ?

sconto = costo * tasso di sconto

sconto = 12000 * 15/100 = 12000 * 0,15 = 1800

PROBLEMI DI INTERESSE

A quanto ammonta l'interesse che fruttano 5000 euro investiti per 6 mesi ad un tasso del 6% ?

interesse = capitale * tempo * tasso di interesse

interesse = 5000 * 6/12 (inteso come sei mesi di un anno) * 6/100 = 50 * 1 * 3 ( semplificato) = 50 * 3 = 150

VARIAZIONE PERCENTUALE

E' opportuno infine ricordare la formula per ottenere la variazione percentuale di una variabile di cui si conoscono il valore iniziale e finale. Essa è la stessa sia che si consideri un incremento che un decremento percentuale, l'unica differenza che si osserva è il segno della variazione percentuale positivo nel primo caso e negativo nel secondo.

variazione percentuale = nuovo ammontare - ammontare originale / ammontare originale * 100%

POTENZE DI UN NUMERO RAZIONALE

La potenza di un numero razionale a, detto base, con esponente intero n è il prodotto di n fattori tutti uguali ad a.

Se la base è positiva il valore sarà sempre positivo.

Se la base è negativa, il valore sarà sempre positivo se l'esponente è pari e negativo se è dispari.

PROPRIETA' DELLE POTENZE

Il valore di una potenza con esponente unitario (1) è sempre uguale alla base.

Il valore di una potenza con base nulla (0) è sempre nullo qualunque sia l'esponente purchè diverso da zero.

Il valore di una potenza con base unitaria (1) è sempre unitario qualunque sia l'esponente.

POTENZE ED OPERAZIONI FONDAMENTALI

Il prodotto di una o più potenze aventi la stessa base è una potenza avente per base la stessa base e per esponente la somma degli esponenti. Il quoziente di queste due è una potenza avente per base la stessa base e per esponente la differenza tra gli esponenti.

La potenza con esponente nullo di una base qualsiasi (purchè diversa da zero) è sempre uguale all'unità.

La potenza con esponente negativo è uguale al reciproco della stessa potenza, ma con esponente opposto.

PROPRIETA' DISTRIBUTIVE DELLE POTENZE

Per le potenze vale la proprietà distributiva sia per la moltiplicazione che per la divisione.

La potenza del prodotto di più fattori è uguale al prodotto delle potenze di ciascun fattore.

La potenza di un quoziente di due numeri è uguale al quoziente delle potenze di ciascuno dei due numeri dati.

La potenza di una potenza di base qualsiasi è una potenza avente per base la stessa base e per esponente il prodotto degli esponenti.

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