Matemática - 2013

As torres Puerta de Europa são duas torres inclinadas uma contra a outra, construídas numa avenida de Madri, na Espanha. A inclinação das torres é de \(15^{\circ}\) com a vertical e elas têm, cada uma, uma altura de \(114 m\) (a altura é indicada na figura como o segmento \(AB\)). Estas torres são um bom exemplo de um prisma oblíquo de base quadrada e uma delas pode ser observada na imagem. Utilizando \(0,26\) como valor aproximado para a tangente de \(15^{\circ}\) e duas casas decimais nas operações, descobre-se que a área da base desse prédio ocupa na avenida um espaço

As notas de um professor que participou de um processo seletivo, em que a banca avaliadora era composta por cinco membros, são apresentadas no gráfico. Sabe-se que cada membro da banca atribuiu duas notas ao professor, uma relativa aos conhecimentos específicos da área de atuação e outra, aos conhecimentos pedagógicos, e que a média final do professor foi dada pela média aritmética de todas as notas atribuídas pela banca avaliadora. Utilizando um novo critério, essa banca avaliadora resolveu descartar a maior e a menor notas atribuídas ao professor. A nova média, em relação à média anterior, é

Um banco solicitou aos seus clientes a criação de uma senha pessoal de seis dígitos, formada somente por algarismos de \(0\) a \(9\), para acesso à conta corrente pela internet. Entretanto, um especialista em sistemas de segurança eletrônica recomendou à direção do banco recadastrar seus usuários, solicitando, para cada um deles, a criação de uma nova senha com seis dígitos, permitindo agora o uso das \(26\) letras do alfabeto, além dos algarismos de \(0\) a \(9\). Nesse novo sistema, cada letra maiúscula era considerada distinta de sua versão minúscula. Além disso, era proibido o uso de outros tipos de caracteres. Uma forma de avaliar uma alteração no sistema de senhas é a verificação do coeficiente de melhora, que é a razão do novo número de possibilidades de senhas em relação ao antigo. O coeficiente de melhora da alteração recomendada é

Uma torneira não foi fechada corretamente e fiou pingando, da meia-noite às seis horas da manhã, com a frequência de uma gota a cada três segundos. Sabe-se que cada gota d’agua tem volume de \(0,2 mL\). Qual foi o valor mais aproximado do total de água desperdiçada nesse período, em litros?

Um comerciante visita um centro de vendas para fazer cotação de preços dos produtos que deseja comprar. Verifica que se aproveita \(100\%\) da quantidade adquirida de produtos do tipo \(A\), mas apenas \(90\%\) de produtos do tipo \(B\). Esse comerciante deseja comprar uma quantidade de produtos, obtendo o menor custo/benefício em cada um deles. O quadro mostra o preço por quilograma, em reais, de cada produto comercializado. Os tipos de arroz, feijão, soja e milho que devem ser escolhidos pelo comerciante são, respectivamente,

Em um sistema de dutos, três canos iguais, de raio externo \(30 cm\), são soldados entre si e colocados dentro de um cano de raio maior, de medida \(R\). Para posteriormente ter fácil manutenção, é necessário haver uma distância de \(10 cm\) entre os canos soldados e o cano de raio maior. Essa distância é garantida por um espaçador de metal, conforme a figura. Utilize \(1,7\) como aproximação para\(\sqrt{3}\). O valor de \(R\), em centímetros, é igual a

O índice de eficiência utilizado por um produtor de leite para qualificar suas vacas é dado pelo produto do tempo de lactação (em dias) pela produção média diária de leite (em \(kg\)), dividido pelo intervalo entre partos (em meses). Para esse produtor, a vaca é qualificada como eficiente quando esse índice é, no mínimo, \(281\) quilogramas por mês, mantendo sempre as mesmas condições de manejo (alimentação, vacinação e outros). Na comparação de duas ou mais vacas, a mais eficiente é a que tem maior índice. A tabela apresenta os dados coletados de cinco vacas: Após a análise dos dados, o produtor avaliou que a vaca mais eficiente é a

A Secretaria de Saúde de um município avalia um programa que disponibiliza, para cada aluno de uma escola municipal, uma bicicleta, que deve ser usada no trajeto de ida e volta, entre sua casa e a escola. Na fase de implantação do programa, o aluno que morava mais distante da escola realizou sempre o mesmo trajeto, representado na figura, na escala \(1:25 000\), por um período de cinco dias. Quantos quilômetros esse aluno percorreu na fase de implantação do programa?

A cidade de Guarulhos (SP) tem o 8º PIB municipal do Brasil, além do maior aeroporto da América do Sul. Em proporção, possui a economia que mais cresce em indústrias, conforme mostra o gráfico. Analisando os dados percentuais do gráfico, qual a diferença entre o maior e o menor centro em crescimento no polo das indústrias?

Em um certo teatro, as poltronas são divididas em setores. A figura apresenta a vista do setor 3 desse teatro, no qual as cadeiras escuras estão reservadas e as claras não foram vendidas. A razão que representa a quantidade de cadeiras reservadas do setor 3 em relação ao total de cadeiras desse mesmo setor é

Uma loja acompanhou o número de compradores de dois produtos, \(A\) e \(B\), durante os meses de janeiro, fevereiro e março de 2012. Com isso, obteve este gráfico. A loja sorteará um brinde entre os compradores do produto \(A\) e outro brinde entre os compradores do produto \(B\). Qual a probabilidade de que os dois sorteados tenham feito suas compras em fevereiro de 2012?

Para o reflorestamento de uma área, deve-se cercar totalmente, com tela, os lados de um terreno, exceto o lado margeado pelo rio, conforme a figura. Cada rolo de tela que será comprado para confecção da cerca contém \(48\) metros de comprimento. A quantidade mínima de rolos que deve ser comprada para cercar esse terreno é

Um dos grandes problemas enfrentados nas rodovias brasileiras é o excesso de carga transportada pelos caminhões. Dimensionado para o tráfego dentro dos limites legais de carga, o piso das estradas se deteriora com o peso excessivo dos caminhões. Além disso, o excesso de carga interfere na capacidade de frenagem e no funcionamento da suspensão do veículo, causas frequentes de acidentes. Ciente dessa responsabilidade e com base na experiência adquirida com pesagens, um caminhoneiro sabe que seu caminhão pode carregar, no máximo, \(1 500\) telhas ou \(1 200\) tijolos. Considerando esse caminhão carregado com \(900\) telhas, quantos tijolos, no máximo, podem ser acrescentados à carga de modo a não ultrapassar a carga máxima do caminhão?

As projeções para a produção de arroz no período de 2012 - 2021, em uma determinada região produtora, apontam para uma perspectiva de crescimento constante da produção anual. O quadro apresenta a quantidade de arroz, em toneladas, que será produzida nos primeiros anos desse período, de acordo com essa projeção. A quantidade total de arroz, em toneladas, que deverá ser produzida no período de 2012 a 2021 será de

Numa escola com \(1 200\) alunos foi realizada uma pesquisa sobre o conhecimento desses em duas línguas estrangeiras, inglês e espanhol. Nessa pesquisa constatou-se que \(600\) alunos falam inglês, \(500\) falam espanhol e \(300\) não falam qualquer um desses idiomas. Escolhendo-se um aluno dessa escola ao acaso e sabendo-se que ele não fala inglês, qual a probabilidade de que esse aluno fale espanhol?

Durante uma aula de Matemática, o professor sugere aos alunos que seja fiado um sistema de coordenadas cartesianas (x, y) e representa na lousa a descrição de cinco conjuntos algébricos, \(I\), \(II\), \(III\), \(IV\) e \(V\), como se segue: \(I\) — é a circunferência de equação \(x^{2} + y^{2} = 9\); \(II\) — é a parábola de equação \(y=-x^{2}-1\), com \(x\) variando de \(-1\) a \(1\); \(III\) — é o quadrado formado pelos vértices \((-2,1),(-1,1),(-1,2)\) e \((-2,2)\); \(IV\) — é o quadrado formado pelos vértices \((1,1),(2,1),(2,2)\) e \((1,2)\); \(V\) — é o ponto \((0,0)\) A seguir, o professor representa corretamente os cinco conjuntos sobre uma mesma malha quadriculada, composta de quadrados com lados medindo uma unidade de comprimento, cada, obtendo uma figura. Qual destas figuras foi desenhada pelo professor?

A parte interior de uma taça foi gerada pela rotação de uma parábola em torno de um eixo z, conforme mostra a figura. A função real que expressa a parábola, no plano cartesiano da figura, é dada pela lei \(f(x) =frac{3}{2} x^{2}-6x+C\), onde \(C\) é a medida da altura do líquido contido na taça, em centímetros. Sabe-se que o ponto \(V\), na figura, representa o vértice da parábola, localizado sobre o eixo \(x\). Nessas condições, a altura do líquido contido na taça, em centímetros, é

Muitos processos fisiológicos e bioquímicos, tais como batimentos cardíacos e taxa de respiração, apresentam escalas construídas a partir da relação entre superfície e massa (ou volume) do animal. Uma dessas escalas, por exemplo, considera que “o cubo da área \(S\) da superfície de um mamífero é proporcional ao quadrado de sua massa \(M\)”. [HUGHES-HALLETT, D. et al. Cálculo e aplicações. São Paulo: Edgard Blücher, 1999 (adaptado).] Isso é equivalente a dizer que, para uma constante \(k > 0\), a área \(S\) pode ser escrita em função de \(M\) por meio da expressão:

A Lei da Gravitação Universal, de Isaac Newton, estabelece a intensidade da força de atração entre duas massas. Ela é representada pela expressão: \[F=G\times \frac{m_1 m_2}{d^2}\] onde \(m_1\) e \(m_2\) correspondem às massas dos corpos, \(d\) à distância entre eles, \(G\) à constante universal da gravitação e \(F\) à força que um corpo exerce sobre o outro. O esquema representa as trajetórias circulares de cinco satélites, de mesma massa, orbitando a Terra. Qual gráfico expressa as intensidades das forças que a Terra exerce sobre cada satélite em função do tempo?

Uma indústria tem um reservatório de água com capacidade para \(900 m^3\). Quando há necessidade de limpeza do reservatório, toda a água precisa ser escoada. O escoamento da água é feito por seis ralos, e dura \(6\) horas quando o reservatório está cheio. Esta indústria construirá um novo reservatório, com capacidade de \(500 m^3\), cujo escoamento da água deverá ser realizado em \(4\) horas, quando o reservatório estiver cheio. Os ralos utilizados no novo reservatório deverão ser idênticos aos do já existente. A quantidade de ralos do novo reservatório deverá ser igual a

Uma fábrica de fórmicas produz placas quadradas de lados de medida igual a \(y\) centímetros. Essas placas são vendidas em caixas com \(N\) unidades e, na caixa, é especificada a área máxima \(S\) que pode ser coberta pelas \(N\) placas. Devido a uma demanda do mercado por placas maiores, a fábrica triplicou a medida dos lados de suas placas e conseguiu reuni-las em uma nova caixa, de tal forma que a área coberta \(S\) não fosse alterada. A quantidade \(X\), de placas do novo modelo, em cada nova caixa será igual a:

Num parque aquático existe uma piscina infantil na forma de um cilindro circular reto, de \(1m\) de profundidade e volume igual a \(12m^3\), cuja base tem raio \(R\) e centro \(O\). Deseja-se construir uma ilha de lazer seca no interior dessa piscina, também na forma de um cilindro circular reto, cuja base estará no fundo da piscina e com centro da base coincidindo com o centro do fundo da piscina, conforme a figura. O raio da ilha de lazer será \(r\). Deseja-se que após a construção dessa ilha, o espaço destinado à água na piscina tenha um volume de, no mínimo,\(4m^3\). Considere \(3\) como valor aproximado para \(\pi\). Para satisfazer as condições dadas, o raio máximo da ilha de lazer \(r\), em metros, estará mais próximo de

O contribuinte que vende mais de \(R\$\, 20\, mil\) de ações em Bolsa de Valores em um mês deverá pagar Imposto de Renda. O pagamento para a Receita Federal consistirá em \(15\%\) do lucro obtido com a venda das ações. [Disponível em: www1.folha.uol.com.br. Acesso em: 26 abr. 2010 (adaptado).] Um contribuinte que vende por \(R\$\, 34\, mil\) um lote de ações que custou \(R\$\, 26\, mil\) terá de pagar de Imposto de Renda à Receita Federal o valor de

Para se construir um contrapiso, é comum, na constituição do concreto, se utilizar cimento, areia e brita, na seguinte proporção: \(1\) parte de cimento, \(4\) partes de areia e \(2\) partes de brita. Para construir o contrapiso de uma garagem, uma construtora encomendou um caminhão betoneira com \(14m^3\) de concreto. Qual é o volume de cimento, em \(m^3\), na carga de concreto trazido pela betoneira?

Cinco empresas de gêneros alimentícios encontram-se à venda. Um empresário, almejando ampliar os seus investimentos, deseja comprar uma dessas empresas. Para escolher qual delas irá comprar, analisa o lucro (em milhões de reais) de cada uma delas, em função de seus tempos (em anos) de existência, decidindo comprar a empresa que apresente o maior lucro médio anual. O quadro apresenta o lucro (em milhões de reais) acumulado ao longo do tempo (em anos) de existência de cada empresa. O empresário decidiu comprar a empresa

Deseja-se postar cartas não comerciais, sendo duas de \(100 g\), três de \(200 g\) e uma de \(350 g\). O gráfico mostra o custo para enviar uma carta não comercial pelos Correios. O valor total gasto, em reais, para postar essas cartas é de

Foi realizado um levantamento nos \(200\) hotéis de uma cidade, no qual foram anotados os valores, em reais, das diárias para um quarto padrão de casal e a quantidade de hotéis para cada valor da diária. Os valores das diárias foram: \(A = R\$ \,200,00\); \(B = R\$\, 300,00\); \(C = R\$\, 400,00\) e \(D = R\$\, 600,00\). No gráfico, as áreas representam as quantidades de hotéis pesquisados, em porcentagem, para cada valor da diária. O valor mediano da diária, em reais, para o quarto padrão de casal nessa cidade, é

Para aumentar as vendas no início do ano, uma loja de departamentos remarcou os preços de seus produtos \(20\%\) abaixo do preço original. Quando chegam ao caixa, os clientes que possuem o cartão fidelidade da loja têm direito a um desconto adicional de \(10\%\) sobre o valor total de suas compras. Um cliente deseja comprar um produto que custava \(R\$\, 50,00\) antes da remarcação de preços. Ele não possui o cartão fidelidade da loja. Caso esse cliente possuísse o cartão fidelidade da loja, a economia adicional que obteria ao efetuar a compra, em reais, seria de

Um programa de edição de imagens possibilita transformar figuras em outras mais complexas. Deseja-se construir uma nova figura a partir da original. A nova figura deve apresentar simetria em relação ao ponto \(O\). A imagem que representa a nova figura é:

Um artesão de joias tem à sua disposição pedras brasileiras de três cores: vermelhas, azuis e verdes. Ele pretende produzir joias constituídas por uma liga metálica, a partir de um molde no formato de um losango não quadrado com pedras nos seus vértices, de modo que dois vértices consecutivos tenham sempre pedras de cores diferentes. A figura ilustra uma joia, produzida por esse artesão, cujos vértices \(A\), \(B\), \(C\) e \(D\) correspondem às posições ocupadas pelas pedras. Com base nas informações fornecidas, quantas joias diferentes, nesse formato, o artesão poderá obter?

Em setembro de 1987, Goiânia foi palco do maior acidente radioativo ocorrido no Brasil, quando uma amostra de césio-137, removida de um aparelho de radioterapia abandonado, foi manipulada inadvertidamente por parte da população. A meia-vida de um material radioativo é o tempo necessário para que a massa desse material se reduza à metade. A meia-vida do césio-137 é \(30\) anos e a quantidade restante de massa de um material radioativo, após t anos, é calculada pela expressão \(M(t)=A\times (2,7)^{kt}\), onde A é a massa inicial e k é uma constante negativa. Considere \(0,3\) como aproximação para \(log_{10} 2\). Qual o tempo necessário, em anos, para que uma quantidade de massa do césio-137 se reduza a \(10\%\) da quantidade inicial?

A cerâmica constitui-se em um artefato bastante presente na história da humanidade. Uma de suas várias propriedades é a retração (contração), que consiste na evaporação da água existente em um conjunto ou bloco cerâmico quando submetido a uma determinada temperatura elevada. Essa elevação de temperatura, que ocorre durante o processo de cozimento, causa uma redução de até \(20\%\) nas dimensões lineares de uma peça. [Disponível em: www.arq.ufsc.br. Acesso em: 3 mar. 2012.] Suponha que uma peça, quando moldada em argila, possuía uma base retangular cujos lados mediam \(30 cm\) e \(15 cm\). Após o cozimento, esses lados foram reduzidos em \(20\%\). Em relação à área original, a área da base dessa peça, após o cozimento, fiou reduzida em

Uma fábrica de parafusos possui duas máquinas, \(I\) e \(II\), para a produção de certo tipo de parafuso. Em setembro, a máquina \(I\) produziu \(\frac{54}{100}\) do total de parafusos produzidos pela fábrica. Dos parafusos produzidos por essa máquina, \(\frac{25}{1000}\) eram defeituosos. Por sua vez, \(\frac{38}{1000}\) dos parafusos produzidos no mesmo mês pela máquina \(II\) eram defeituosos. O desempenho conjunto das duas máquinas é classificado conforme o quadro, em que P indica a probabilidade de um parafuso escolhido ao acaso ser defeituoso. O desempenho conjunto dessas máquinas, em setembro, pode ser classificado como

Considere o seguinte jogo de apostas: Numa cartela com \(60\) números disponíveis, um apostador escolhe de \(6\) a \(10\) números. Dentre os números disponíveis, serão sorteados apenas \(6\). O apostador será premiado caso os \(6\) números sorteados estejam entre os números escolhidos por ele numa mesma cartela. O quadro apresenta o preço de cada cartela, de acordo com a quantidade de números escolhidos. Cinco apostadores, cada um com \(R\$ \,500,00\) para apostar, fizeram as seguintes opções: Arthur: \(250\) cartelas com \(6\) números escolhidos; Bruno: \(41\) cartelas com \(7\) números escolhidos e \(4\) cartelas com \(6\) números escolhidos; Caio: \(12\) cartelas com \(8\) números escolhidos e \(10\) cartelas com \(6\) números escolhidos; Douglas: \(4\) cartelas com \(9\) números escolhidos; Eduardo: \(2\) cartelas com \(10\) números escolhidos. Os dois apostadores com maiores probabilidades de serem premiados são

Nos Estados Unidos a unidade de medida de volume mais utilizada em latas de refrigerante é a onça fluida (fl oz), que equivale a aproximadamente \(2,95\) centilitros (\(cL\)). Sabe-se que o centilitro é a centésima parte do litro e que a lata de refrigerante usualmente comercializada no Brasil tem capacidade de \(355 mL\). Assim, a medida do volume da lata de refrigerante de \(355 mL\), em onça fluida (fl oz), é mais próxima de

Na aferição de um novo semáforo, os tempos são ajustados de modo que, em cada ciclo completo (verde-amarelo-vermelho), a luz amarela permaneça acesa por \(5\) segundos, e o tempo em que a luz verde permaneça acesa seja igual a \(\frac{2}{3}\) do tempo em que a luz vermelha fique acesa. A luz verde fica acesa, em cada ciclo, durante \(X\) segundos e cada ciclo dura \(Y\) segundos. Qual é a expressão que representa a relação entre \(X\) e \(Y\)?

A temperatura \(T\) de um forno (em graus centígrados) é reduzida por um sistema a partir do instante de seu desligamento \(t=0\) e varia de acordo com a expressão \(T(t)=-\frac{t^{2}}{4}+400\), com \(t\) em minutos. Por motivos de segurança, a tra va do forno só é liberada para abertura quando o forno atinge a temperatura de \(39^{\circ}C\). Qual o tempo mínimo de espera, em minutos, após se desligar o forno, para que a porta possa ser aberta?

O ciclo de atividade magnética do Sol tem um período de \(11\) anos. O início do primeiro ciclo registrado se deu no começo de 1755 e se estendeu até o final de 1765. Desde então, todos os ciclos de atividade magnética do Sol têm sido registrados. [Disponível em: http://g1.globo.com. Acesso em: 27 fev. 2013.] No ano de 2101, o Sol estará no ciclo de atividade magnética de número

A figura apresenta dois mapas, em que o estado do Rio de Janeiro é visto em diferentes escalas. Há interesse em estimar o número de vezes que foi ampliada a área correspondente a esse estado no mapa do Brasil. Esse número é

Nos últimos anos, a televisão tem passado por uma verdadeira revolução, em termos de qualidade de imagem, som e interatividade com o telespectador. Essa transformação se deve à conversão do sinal analógico para o sinal digital. Entretanto, muitas cidades ainda não contam com essa nova tecnologia. Buscando levar esses benefícios a três cidades, uma emissora de televisão pretende construir uma nova torre de transmissão, que envie sinal às antenas \(A\), \(B\) e \(C\), já existentes nessas cidades. As localizações das antenas estão representadas no plano cartesiano. A torre deve estar situada em um local equidistante das três antenas. O local adequado para a construção dessa torre corresponde ao ponto de coordenadas

Uma cozinheira, especialista em fazer bolos, utiliza uma forma no formato representado na figura. Nela identifica-se a representação de duas figuras geométricas tridimensionais. Essas figuras são

Uma falsa relação: O cruzamento da quantidade de horas estudadas com o desempenho no Programa Internacional de Avaliação de Estudantes (Pisa) mostra que mais tempo na escola não é garantia de nota acima da média. Dos países com notas abaixo da média nesse exame, aquele que apresenta maior quantidade de horas de estudo é

Um restaurante utiliza, para servir bebidas, bandejas com bases quadradas. Todos os copos desse restaurante têm o formato representado na figura. Considere que\( AC = \frac{7}{5} BD\) e que \(l\) é a medida de um dos lados da base da bandeja. Qual deve ser o menor valor da razão \(\frac{l}{BD}\) para que uma bandeja tenha capacidade de portar exatamente quatro copos de uma só vez?

O dono de um sítio pretende colocar uma haste de sustentação para melhor firmar dois postes de comprimentos iguais a \(6m\) e \(4m\). A figura representa a situação real na qual os postes são descritos pelos segmentos \(AC\) e \(BD\) e a haste é representada pelo segmento \(EF\), todos perpendiculares ao solo, que é indicado pelo segmento de reta \(AB\). Os segmentos \(AD\) e \(BC\) representam cabos de aço que serão instalados. Qual deve ser o valor do comprimento da haste \(EF\)?

Gangorra é um brinquedo que consiste de uma tábua longa e estreita equilibrada e fiada no seu ponto central (pivô). Nesse brinquedo, duas pessoas sentam-se nas extremidades e, alternadamente, impulsionam-se para cima, fazendo descer a extremidade oposta, realizando, assim, o movimento da gangorra. Considere a gangorra representada na figura, em que os pontos \(A\) e \(B\) são equidistantes do pivô. A projeção ortogonal da trajetória dos pontos \(A\) e \(B\), sobre o plano do chão da gangorra, quando esta se encontra em movimento, é: