Números Racionales - Parte 1

Samuel Campos Cid
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Samuel Campos Cid
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Conceptos clave de la primera parte de la unidad de números racionales.

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    Los primeros conjuntos numéricos
    Los primeros conjuntos naturales que estudiamos son los números naturales:\( \mathbb{N}=\{0,1,2,3,4,...\}\)En este conjunto las operaciones adición y multiplicación son cerradas, es decir, su resultado queda en el mismo conjunto. Sin embargo, si restamos dos números naturales no siempre el resultado es un número natural. Esto da origen a otro nuevo conjunto, el conjunto de los números enteros:\( \mathbb{Z}=\{...-4, -3, -2, -1, 0,1,2,3,4,...\}\)En este conjunto las operaciones adición, multiplicación y sustracción son cerradas. Nos queda aun una operación, la división. Si dividimos dos números enteros el resultado no siempre es un número entero. Esto da origen a un nuevo conjunto, el conjunto de los números racionales:\( \mathbb{Q}=\{\frac{a}{b}\} \) tal que \(a\in \mathbb{Z}\) y \( b\in \mathbb{Z}-\{0\} \)En este último conjunto las cuatro operaciones son cerradas, es decir, si sumamos, restamos, multiplicamos o dividimos dos números racionales, el resultado siempre será un número racional.
    Caption: : Diagrama de los conjuntos \( \mathbb{N, Z, Q}\)

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    ¿Cómo convertir números enteros a fracción?
    Si los números son enteros (ya sean positivos o negativos) y se quiere transformar a fracción basta con dividir por 1 el número entero para transformarlo a su expresión fraccionaria.Por ejemplo:\(5=\frac{5}{1}\)\(13=\frac{13}{1}\)\(-7=\frac{-7}{1}\)\(0=\frac{0}{1}\)

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    ¿Cómo convertir Nºs periódicos a fracción?
    Si el número es periódico entonces disponemos de una fórmula para transformarlo a fracción.La fórmula la tenemos en la imagen del lado derecho.La fórmula se ocuparía de la siguiente forma. Supongamos que queremos transformar el número \(1,\overline{45}\) a fracción. Según la fórmula tendríamos lo siguiente:\(1,\overline{45}=\frac{145-1}{99}=\frac{144}{99}\)
    Caption: : Fórmula para transformar números periódicos a fracción.

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    ¿Cómo convertir Nºs semiperiódicos a fracción?
    Si el número es semiperiódico entonces disponemos de una fórmula para transformarlo a fracción.La fórmula la tenemos en la imagen del lado derecho.La fórmula se ocuparía de la siguiente forma. Supongamos que queremos transformar el número \(1,4\overline{5}\) a fracción. Según la fórmula tendríamos lo siguiente:\(1,4\overline{5}=\frac{145-14}{90}=\frac{131}{90}\)
    Caption: : Fórmula para transformar números semiperiódicos a fracción.

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    ¿Cómo convertir decimales finitos a fracción?
    Si queremos transformar números decimales finitos a fracción basta con aplicar la fórmula del lado derecho.Por ejemplo si queremos transformar \(2,78\) a fracción simplemente hacemos lo siguiente:\(2,78=\frac{278}{100}\)
    Caption: : Fórmula para transformar decimales finitos a fracción.

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    ¿Cómo comparar fracciones?
    Si tenemos dos fracciones y deseamos saber cuál es mayor, basta con multiplicar cruzado (hacia arriba) y comparar estos resultados.Por ejemplo si queremos saber cuál fracción es mayor entre\(\frac{3}{7}\) y \(\frac{4}{9}\)Basta con multiplicar cruzado (hacia arriba), esto nos queda de la siguiente manera:\(3\cdot 9\) y \(7\cdot 4\)\(27\) y \(28\)Por lo tanto, como\(27<28\)\(\frac{3}{7}<\frac{4}{9}\)
    Caption: : Comparación de dos fracciones.

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    ¿Cómo comparar números decimales?
    Si tenemos dos números decimales y queremos saber cuál es el mayor entre ellos, basta con comparar cada valor posicional de ambos números entre si. Esto quiere decir que debemos comparar las centenas primeramente, luego las decenas, las unidades, luego las décimas, las centésimas, las milésimas, y así sucesivamente.Por ejemplo, si queremos comparar entre los números \(23,125\) y \(23,28\). Las decenas de ambos números es 2. Las unidades de ambos es 3. Sin embargo, la décima del primer número es 1, pero la décima del segundo número es 2. Por lo tanto el número mayor es el segundo número, es decir \(23,28\).
    Caption: : Comparación de los valores posicionales de los números.

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    ¿Cómo comparar fracciones con decimales?
    Si tenemos el caso en que debemos comparar una fracción con un número decimal tenemos que volver a alguno de los dos casos anteriores. Esto quiere decir que el número decimal lo transformamos a fracción, o bien, el número fraccionario lo transformamos a decimal.
    Caption: : Algunas representaciones de diferentes fracciones y decimales.

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