Se denomina sección cónica a todas las curvas resultantes de las diferentes intersecciones entre un cono y un plano; si dicho plano no pasa por el vértice, se obtienen las cónicas propiamente dichas. Se clasifican en cuatro tipos: elipse, parábola, hipérbola y circunferencia .

DEFINICION DE SECCIONES CONICAS

APLICACIONES DE LAS SECCIONES CONICAS

Las curvas cónicas son importantes en:  astronomía   dos cuerpos masivos que interactúan según la ley de gravitación universal, sus trayectorias describen secciones cónicas si su centro de masa se considera en reposo. Si están relativamente próximas describirán elipses, si se alejan demasiado describirán hipérbolas o parábolas.También son importantes en aerodinámica  y en su aplicación industrial,ya que permiten ser repetidas por medios mecánicos con gran exactitud, logrando superficies, formas y curvas perfectas.

ACLARACIONES DEL CONCEPTO MEDIANTE  UNA EXPLICACION EN VIDEO HECHA POR UN DOCENTE

HIPERBOLA

Una hipérbola es el lugar geométrico de los puntos de un plano tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos es igual a la distancia entre los vértices, la cual es una constante positiva

HISTORIA

Según la tradición, las secciones cónicas fueron descubiertas por Menecmo, en su estudio del problema de la duplicación del cubo donde demuestra la existencia de una solución mediante el corte de una parábola con una hipérbola, lo cual es confirmado posteriormente por Proclo y Eratóstenes Sin embargo, el primero en usar el término hipérbola fue Apolonio de Perge en su tratado Cónicas, considerada obra cumbre sobre el tema de las matemáticas griegas, y donde se desarrolla el estudio de las tangentes a secciones cónicas

Ecuaciones en coordenadas cartesianas: Ecuación de una hipérbola con centro en el origen de coordenadas (0.0)  y ecuación de la hipérbola en su forma canóncica.  

ECUACION DE LA HIPERBOLA

Elementos de la hipérbola Eje mayor El eje mayor es la recta de la hipérbola donde pertenecen los focos y los vértices de la misma. Su valor es 2a y es perpendicular al eje imaginario Eje menor o imaginario El eje menor o imaginario no tiene puntos en común con la hipérbola. Sin embargo, siempre se cumple que las perpendiculares lanzadas por sus extremos cortan con las perpendiculares lanzadas por los extremos del eje mayor en 4 puntos que pueden servir para trazar las asíntotas. Asíntotas Son las rectas r y r' que pasan por el centro de la hipérbola y verifican que se acercan ramas de la misma tanto más cuanto más nos alejamos del centro de la hipérbola.Las ecuaciones de las asíntotas son: r: y= b/a x r': y = -b/a x Vértices Los vértices de una hipérbola son los puntos donde ésta corta a sus ejes. Focos Son dos puntos, , respecto de los cuales permanece constante la diferencia de distancias (en valor absoluto) a cualquier punto, , de dicha hipérbola. Centro Punto medio de los vértices de la hipérbola. Tangentes La tangente a una hipérbola en cualquier punto de la curva es bisectriz del ángulo formado por los radios vectores de ese punto.

EXPLICACION DE LA ECUACION Y GRAFICA DE UNA HIPERBOLA POR PARTE DE UN DOCENTE

Una elipse es la curva simétrica cerrada que resulta al cortar la superficie de un cono por un plano oblicuo al eje de simetría –con ángulo mayor que el de la generatriz respecto del eje de revolución. Una elipse que gira alrededor de su eje menor genera un esferoide achatado, mientras que una elipse que gira alrededor de su eje principal genera un esferoide alargado.

ELIPSE

La elipse, como curva geométrica, fue estudiada por Menecmo, investigada por Euclides, y su nombre se atribuye a Apolonio de Pérgamo. El foco y la directriz de la sección cónica de una elipse fueron estudiadas por Pappus. En 1602, Kepler creía que la órbita de Marte era ovalada, aunque más tarde descubrió que se trataba de una elipse con el Sol en un foco. De hecho, Kepler introdujo la palabra «focus» y publicó su descubrimiento en 1609. Halley, en 1705, demostró que el cometa que ahora lleva su nombre trazaba una órbita elíptica alrededor del Sol.

HISTORIA

La elipse es una curva plana y cerrada, simétrica respecto a dos ejes perpendiculares entre sí: El semieje mayor (el segmento C-a de la figura), y el semieje menor (el segmento C-b de la figura). Miden la mitad del eje mayor y menor respectivamente.

Elementos de una elipse

Puntos de una elipse Los focos de la elipse son dos puntos equidistantes del centro, F1 y F2 en el eje mayor. La suma de las distancias desde cualquier punto P de la elipse a los dos focos es constante, e igual a la longitud del diámetro mayor (d(P,F1)+d(P,F2)=2a).Por comodidad denotaremos por PQ la distancia entre dos puntos P y Q.Si F1 y F2 son dos puntos de un plano, y 2a es una constante mayor que la distancia F1F2, un punto P pertenecerá a la elipse si se cumple la relación: donde  es la medida del semieje mayor de la elipse.

Si el eje x es positivo, entonces la hipérbola es horizontal; si es al revés, es vertical. La excentricidad de una hipérbola siempre es mayor que uno

EJEMPLOS

Ecuación de una hipérbola con centro en el punto(h,k)

CIRCUNFERENCIA 

La circunferencia, es una curva plana y cerrada donde todos sus puntos están a igual distancia del centro.

secciones

HIPERBOLA

ELIPSE

CIRCUNFERENCIA