MATEMÁTICA ELEMENTAR 1

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INTERVALOS

a) Intervalo aberto de extremos a e b é o conjunto )a,b( = (x ∈ ℝ | ab) Intervalo fechado de extremos a e b é o conjunto (a,b) = (x ∈ ℝ | a≤x≤b)

c) Intervalo fechado à esquerda (a,b( = (x ∈ ℝ | a≤xd) Intervalo fechado à direita )a,b) = (x ∈ ℝ | a

PRODUTO CARTESIANO

Sejam a e b dois conjuntos não vazios. Denominamos produto cartesiano de A por B o conjunto AxB cujos elementos são todos os pares ordenados (x,y), onde o primeiro pertence a A e o segundo elemento pertence a B.

AxB = ( (x,y) | x ∈ A e y ∈ B)

O símbolo AxB lê-se "A cartesiano B" ou produto cartesiano de A por B

Se A ou B for um conjunto vazio, defenimos o conjunto vazio A por B como sendo o conjunto vazio

Ax Ø= Ø, ØxB= Ø, Øx Ø= Ø

Exemplos

1) Se A=(1,2,3) e B=(1,2)

AxB = ((1,1), (1,2),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2))

e

BxA = ((1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3))

2) Se A=(2,3) então o conjunto AxA (tb pode ser indicado por A(2)) e lê-se A dois"

AxA = ((2,2),(2,3),(3,2),(3,3))

3) Se A= (x ∈ ℝ | 1≤x<3) e B = (2) então temos

AxB = (x,2| x ∈ A)

4) Se A= (x ∈ ℝ| 1≤x≤3) e B = (x ∈ ℝ| 1≤x≤5)

temos AxB = ((x,y) ∈ ℝ| 1≤x≤3 e 1≤y≤5)

RELAÇÃO BINÁRIA

A=(2,3,4) e B=(2,3,4,5,6)

AxB = ((x,y) | x∈A e y∈B)

Formado por 3*5 = 15 elementos

Se considerarmos agora os conjuntos de pares ordenados (x,y) de AxB tais que a|b ("a é divisor de b) teremos

R= ((x,y) ∈ AxB | a|b) = ((2,2),(2,4),(2,6),(3,6),(4,4))

R é uma relação binária de A em B ⇔ R⊂AxB

A = conjunto de partida da relação R

B = conjunto de chegada ou contradominio da relação R

xRy lê-se "x erre y"

RELAÇÃO INVERSA

Dada uma relação binária R de A em B, consideremos o conjunto R(-1) = ((y,x)) ∈ BxA | (x,y) ∈ R)

Decorre dessa defenição que R(-1) é o conjunto de pares oredenados obtido a partir dos pares ordenados de R,

invertendo-se a ordem dos termos em cada par.

Exemplo

R= ((2,3),(2,5),(2,7))

R(-1)= ((3,2),(5,2),(7,2))

Propriedades

1) D(R(-1)) = Im (R)

2) Im (R(-1)) = D (R)

3)(R(-1)-1) = R

FUNÇÕES

Condições para satisfazer uma relação f de A em B para ser uma função

1) é necessário que todo o elemento x∈A participe de pelo menos um par (x,y) ∈ f, isto é, todo o elemento A deve servir como ponto de partida

de uma única flecha.

Uma relação f, não é uma função, se satisfazer uma das seguintes condições

1) se existir um elemento A do qual não parta flecha alguma

2) se existir um elemento A do qual parta 2 ou + flechas

Notação das funções

Toda a função é uma relação binária de A em B, portanto, toda a função é um conjunto de pares ordenados.

Geralmente, existe uma sentença aberta y=f(x), que expressa a lei mediante a qual, dado x∈A, determina-se y∈B tal que (x,y) ∈ f, então

f = ((x,y) | x∈A, y∈B e y=f(x))

Exemplos

1) f: A → B é uma função que associa a cada elemento de x de A, um y de B, tal que y=2x

x → 2x

2) f: ℝ → ℝ é uma função que associa a cada elemento x∈ℝ , um y∈ℝ, tal que y=x(2)

x →x(2)

DOMININO E IMAGEM

Dominio é o conjunto de partida

D = A

Imagem é o subconjunto do contradominio

Im ⊂ B

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FUNÇÕES DO I GRAU

FUNÇÃO CONSTANTE

Uma aplicação f de ℝ em ℝ recebe o nome de função constante quando a cada elemento x ∈ ℝ associa sempre o mesmo elemento c ∈ ℝ

isto é:

f: ℝ → ℝ

x → c

O gráfico da função constante é uma reta paralela ao eixo do x, passando pelo ponto (0,c)

A imagem do conjunto Im = (c)

FUNÇÃO IDENTIDADE

Uma aplicação f de ℝ em ℝ recebe o nome de função identidade quando a cada elemento de x ∈ ℝ associa o próprio x

isto é:

f: ℝ → ℝ

x → x

O gráfico da função é uma reta que contêm as bissetrizes do 1º e 3º quadrantes

Im = ℝ

FUNÇÃO LINEAR

Uma aplicação f de ℝ em ℝ recebe o nome de função linear quando a cada elemento x ∈ ℝ associa o elemento ax ∈ ℝ onde a ≠ 0

isto é:

f: ℝ → ℝ

x → ax, a≠0

Demonstra-se que o gráfico da função é um reta que passa pela origem

Im = ℝ

FUNÇÃO AFIM

Uma aplicação f de ℝ em ℝ recebe o nome de função afim quando a cada elemento de x ∈ ℝ associa o elemento (ax+b) ∈ ℝ, com a≠0

isto é:

f: ℝ → ℝ

x → ax + b, a≠0

Coeficientes da função afim

y= ax+b

a= coeficiente angular

b= coeficiente linear = ordenada do ponto onde a reta corta o eixo do y

Zeros de uma função afim

É todo o nº x cuja imagem é nula

Função Crescente ou Decrescente

Uma função é crescente se o coeficiente angular é positivo e decrescente se o seu coeficiete agular for negativo

Sinal de uma função

Para saber o sinal de uma função, basta examinar se é positiva,negativa ou nula a ordenada de cada ponto da curva

Inequações com potências de base

1º Toda a potência de base real e expoente impar conserva o sinal da base

2º Toda a potência de base real e expoente par é um nº real nao negativo

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FUNÇÕES QUADRÁTICAS

O gráfico de uma função quadrática é uma parábola