Themen der Vektorrechnung

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Vektor in der Ebene und Raum

Stellt euch vor, ihr steht auf einem Marktplatz und wollt in eine

gewisse Richtung laufen. Und dies sollt ihr nun Mathematisch

beschreiben. Eine Möglichkeit wäre: 4 Meter vorwärts laufen und 3 Meter

nach rechts laufen. Genau so eine Bewegung lässt sich als Vektor

darstellen. Dabei muss man sich darüber im klaren sein, ob man sich auf

einer Ebene bewegt, oder ob man sich im Raum (also auch mit

Höhenänderung) bewegt.

Ebener Vektor (2D)

Die folgende Grafik zeigt einen ebenen Vektor in der 2D-Ebene. Seht

euch das Bild erst einmal kurz an und lest dann die Erklärungen

unterhalb:

Stellt euch vor, der Punkt x = 0 und y = 0 ist der Startpunkt, an dem

ihr los lauft. Geht ihr insgesamt um 4 Meter nach rechts und dabei auch

um 6 Meter nach oben, erreicht Ihr den Punkt 4;6. Der Pfeil vom

Ursprung auf diesen neuen Punkt wird Vektor genannt. Im nun Folgenden

sehr ihr die mathematische Darstellung. Dabei ist der oberste Wert der

x-Wert, der untere der y-Wert:

Räumlicher Vektor (3D)

Wenn wir uns nicht nur in der Länge und Breite, sondern auch in der

Höhe bewegen können, brauchen wir noch eine dritte Angabe um die

Richtung zu bestimmen. Diese wird dann zum Beispiel in ein

x-y-z-Koordinatensystem eingetragen.

Noch ein Hinweis: Ich erhalte öfters einmal E-Mails mit verschiedenen

Vorschlägen für die Achsenbeschriftungen, in denen verschiedenste x, y

und z Achsen vorgeschlagen werden. In der Praxis sieht es so aus, dass

man die Achsen entsprechend der Aufgabenstellung beschriftet. Außerdem

gibt es rechts- und linkshändige Koordinatensysteme. Die folgende Grafik

zeigt eine von vielen möglichen Achsenbeschriftungen an:

Für den Vektor langt nun keine x-y-Angabe mehr. Deshalb wird nun ein

dreidimensionaler Vektor genutzt. Der oberste Wert ist hierbei der

x-Wert, der mittlere der y-Wert und der unterste der z-Wert. Dies sieht

dann so aus:

https://www.youtube.com/watch?v=UKfKOPjOGio (Einbetten)

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Vektorrechnung: Addition, Subtraktion und Skalarprodukt

Die Addition und Subtraktion ist denkbar simpel. Die einzelnen X-Werte

und Y-Werte bzw. - sofern vorhanden - auch die Z-Werte werden addiert

bzw. von einander abgezogen. Bei dem Skalarprodukt wird es ein klein

bisschen komplizierter, aber nicht viel. Beginnen wollen wir jedoch mit

der Addition.

Vektorrechnung: Addition

Also hier nun die Addition zur Vektorrechnung. Dabei werden die

beiden X-Werte addiert und die beiden Y-Werte addiert. Wäre noch ein

Z-Wert vorhanden, würde mit diesem genauso verfahren werden. Hier nun

die allgemeine Formel und ein Beispiel:

Vektorrechnung: Subtraktion

Die Subtraktion von Vektoren funktioniert sehr ähnlich. Hier werden

die beiden X-Werte und Y-Werte voneinander abgezogen. Wäre noch ein

Z-Wert vorhanden, würde man diesem ebenso verfahren. Hier wieder die

allgemeine Schreibweise und ein Beispiel.

Skalarprodukt, Orthogonal, Senkrecht

Kümmern wir uns nun um das Skalarprodukt von zwei Vektoren. Dazu

erneut die allgemeine Schreibweise sowie ein Beispiel, welches jedoch

nicht mit dem Z-Wert arbeitet ( Wäre noch ein Z-Wert vorhanden, würde

damit genauso verfahren werden ):

Wir haben in dem Beispiel -7 als Lösung raus bekommen. Wäre eine 0 (

Null ) als Ergebnis ausgerechnet worden, würden die beiden Vektoren

senkrecht aufeinander stehen. Man bezeichnet dies auch als Orthogonal.

Merke: Ist das Skalarprodukt zweier ( vom Nullvektor

verschiendenen ) Vektoren Null, stehen die beiden Vektoren senkrecht ( =

orthogonal ) aufeinander.

https://youtu.be/8brtFh3ZfvM (Einbetten)

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Parallelität, Kollinearität und Komplanarität (Vektor)

Gleichheit, Parallelität und Anti-Parallelität

Beginnen wir mit dem Begriff "Gleichheit" in Bezug auf Vektoren.

Dabei gilt: Zwei Vektoren werden als gleich bezeichnet, wenn sie in

Länge und Richtung übereinstimmen. Die beiden folgenden Vektoren sind "gleich":

Kommen wir zur Parallelität von Vektoren: Zwei Vektoren mit gleicher Richtung heißen zueinander parallel. Die folgende Grafik zeigt zwei parallele Vektoren:

Fehlen noch die anti-parallelen Vektoren. Diese kann man wie folgt

definieren: Besitzen zwei Vektoren entgegengesetzte Richtungen, werden

diese als zueinander anti-parallel bezeichnet. Die folgende Grafik zeigt

zwei anti-parallele Vektoren:

Kollinear und Komplanar

Kollineare Vektoren sind parallele oder anti-parallele Vektoren.

Einer der beiden Vektoren ist ein vielfaches des anderen Vektors. Das

folgende Beispiel zeigt zwei kollineare Vektoren.

Als letztes betrachten wir noch die komplanaren Vektoren. Darunter

versteht man Vektoren, die in einer Ebene liegen. Dies ist leider ein

recht umfangreiches Thema. Aus diesem Grund sei hier auf weitere Kapitel

der Vektor-Rechnung verwiesen, die sich mit dem Thema Ebenen-Rechnung

beschäftigen.

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Berechnung des Mittelpunkts einer Strecke

Hat man eine Strecke, welche durch die Punkte P1 und P2

begrenzt wird, so interessiert man sich manchmal für deren Mittelpunkt.

Gesucht sind somit die Koordinaten des Punktes M, der genau in der

Mitte zwischen P1 und P2 liegt. Um diesen zu

berechnen, muss man sich einer einfachen Formel bedienen. Für den

ebenen Fall und den räumlichen Fall findet ihr hier nun die Formeln. Im

Anschluss gibt es für beide Fälle noch jeweils ein Beispiel.

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Betrag eines Vektors

Der Betrag eines Vektors entspricht der Länge dieses Vektors. Man weiß

nach der Betragsbildung somit, welche Streckenlänge dieser Vektor in der

Ebene oder im Raum hat. Die Idee dafür entstammt dem Satz des

Pythagoras. Die folgende Grafik zeigt euch dies:

Zur Erinnerung: Die Längen ax und ay stellen die

Katheten des Dreiecks dar, der Betrag des Vektors entspricht der

Hypotenuse. Kennt man die Längen der beiden Katheten, kann man mit dem

Satz des Pythagoras die Länge der Hypotenuse berechnen.

Betrag eines ebenen Vektors

Um die Länge eines ebenen Vektors zu bestimmen, berechnen wir dessen

Betrag. Es folgt zunächst die allgemeine Formel um diese Berechnung

durchzuführen. Im Anschluss erhaltet ihr ein Beispiel.

Betrag eines räumlichen Vektors

Um die Länge eines räumlichen Vektors zu bestimmen, berechnen wir

dessen Betrag. Es folgt zunächst die allgemeine Formel um diese

Berechnung durchzuführen. Im Anschluss erhaltet ihr auch ein Beispiel.

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Vektorprodukt / Kreuzprodukt

Die Addition, Subtraktion und das Skalarprodukt in Bezug auf die

Vektorrechnung haben wir bereits in vorigen Artikeln erklärt. Als

nächstes sehen wir uns das Vektorprodukt / Kreuzprodukt näher an.

Folgende Punkte sind hierbei interessant:

Bei einem Vektorprodukt zweier Vektoren entsteht ein neuer Vektor

Dieser Vektor steht senkrecht auf den beiden Ausgangsvektoren und

ist ein Normalenvektor der von den Ausgangsvektoren aufgespannten Ebene und

Der Betrag dieses Vektors ist ein Maß für die Fläche des aufgespannten Parallelogramms

https://www.youtube.com/watch?v=kt9d8Kjs63E (Einbetten)

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Spatprodukt

Das Vektorprodukt war hilfreich zur Berechnung des Flächeninhalts zwischen zwei

Vektoren. Das Spatprodukt hilft nun bei der Berechnung des Volumens

dreier Vektoren. Dazu schreiben wir die drei Vektoren in eine

Determinante und berechnen diese. Es folgt als nächstes die allgemeine

Schreibweise. Anschließend erhaltet Ihr ein Beispiel: