Karteikarten
Матрицы и определители - определения, теоремы и свойства
Karten in diesem Stapel (28)
- 1Что такое матрица? Какие основные операции введены для матриц?Прямоугольная таблица чисел.
Операции: сложение двух матриц одинаковых порядков, умножение матрицы на число, умножения двух матриц порядков NxM на MxK. - 2Операция сложения двух матриц и ее свойстваПусть A и B - матрицы одинаковых порядков m и n. Тогда сумма этих матриц - матрица, каждый элемент которой является суммой соответствующих эементов A и B. Свойства:
1) А + В = В + А
2) (А + В) + С = А + (В + С) - 3Операция умножения матрицы на число и ее свойстваРезультатом умножения матрицы на число является матрица тех же порядков, где каждый элемент умножен на данное число. Свойства:
1) a*(b*A) = (a*b)*A
2) (a+b)*A = a*A + b*A
3) a*(A+B) = a*A + a*B - 4Операция умножения двух матриц и ее свойстваУмножение двух матриц порядков NxM и MxK определяется так: на позиции i,j стоит скалярное произведение i-й строки первой матрицы на j-й столбец второй матрицы.
Свойства:
1) A*(B*C) = (A*B)*C
2) (A+B)*C = A*C + B*C - 5Коммутирующие матрицы, частный случай с диагональной матрицейЭто две матрциы A и B, такие, что A*B = B*A. Это возможно только в том случае, если A и B являются квадратными матрицами одинакового порядка. Если матрица D - диагональная и все элементы главной диагонали равны d, то A*D = D*A = d*A.
- 6Блочные матрицы и операции с нимиБлочная матрица - матрица, разделенная на секции вертикальными и горизонтальными чертами. Для таких матриц определены операции умножения на число (как умножение каждого блока на это число), сумма двух одинаково разбитых матриц (как сумма блоков) и умножение двух матриц.
- 7Операция умножения двух блочных матрицДля двух блочных матриц, таких, что число столбцов в блоке Aij равно числу строк в блоке Bjk, определена операция умножения. Каждый блок Cik равен сумме произведения Aij на Bjk по всем j.
- 8Прямая сумма квадратных матриц и ее свойстваДля двух квадратных матриц порядков m и n определена операция прямой суммы:
A ⊕ B = |A 0|
|0 B|
Свойства:
1) (A ⊕ B) ⊕ C = A ⊕ (B ⊕ C)
2) (Am ⊕ An) + (Bm ⊕ Bn) = (Am + Bm) ⊕ (An + Bn)
3) (Am ⊕ An)*(Bm ⊕ Bn) = Am*Bm ⊕ An*Bn - 9ОпределительЧисленная характеристика матрицы.
Для матрицы порядка 1 он равен элементу этой матрицы. Для матрицы других порядков он определяется как разложение по первой строке. Доказывается, что та же характеристика - разложение по любой строке или столбцу. - 10Формула для определителя n-го порядка через элементы матрицы (формула Лейбница)Определитель можно рассчитать как сумму по всем возможным перестановкам чисел 1...n; каждое слагаемое - произведение a[k1,1] * a[k2,2] * ... * a[kn,n] на (-1) в степени четности перестановки
- 11Минор первого и второго типаМинор первого типа - определитель, получаемый из матрицы путем выбора из нее тех элементов, что стоят на пересечении выбранных k строк и k столбцов.
Минор второго типа - определитель, получаемый вычеркиванием указанных k строк и k столбцов. - 12Теорема ЛапласаПри любом номере k, меньшем n, и при любом наборе строк 1<= i1 < i2 < ... < ik <= n для определителя n-го порядка справедливо равенство сумме по всем возможным номерам столбцов 1 <= j1 < ... < jk <= n, где каждый элемент суммы - произведение соответствующего минора 1-го типа на минор 2-го типа на (-1) в степени суммы всех i и j.
- 13Понятие линейной комбинации строк/столбцовГоворят, что строка/столбец A является линейной комбинацией строк/столбцов Bi, если существуют такие числа ci, что:
A = c1*B1 + ... + cn*Bn - 14Свойства определителя: транспонирование, перестановка строк/столбцов, линейное свойствоОпределитель транспонированной матрицы равен определителю исходной.
При перестановке двух строк/столбцов знак определителя меняется на противоположный.
Если строка/столбец определителя является линейной комбинацией каких-либо строк, то определитель можно представить в виде двух определителей. - 15Следствия свойств определителя: одинаковые строки, умножение строки/столбца на число, нулевая строка/столбец, пропорциональность строк/столбцов, прибавление к строке/столбцу линейной комбинации других строк/столбцовОпределитель с двумя одинаковыми строками/столбцами равен 0, равно как и с нулевой строкой/столбцом или пропорциональными строками/столбцами. Если строку/столбец умножить на число k, то определитель также умножится на это число. Прибавление к строке/столбцу линейной комбинации других строк/столбцов не меняет величины определителя.
- 16Алгебраическое дополнение элемента матрицыАлгебраическим дополнением элемента aij называется минор M(i,j), умноженный на (-1)^(i+j)
- 17Псевдоразложение определителя по строке/столбцуСумма произведений алгебраических дополнений i-й строки/столбца на соответствующие элементы k-й строки/столбца равна 0 (если i != k)
- 18Определитель нижне/верхнетреугольной матрицы относительно главной и побочной диагоналейОпределитель нижне/верхнетреугольной матрицы по главной диагонали равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали. Аналогично для побочной диагонали, но еще домноженный на (-1)^(n*(n+1)/2)
- 19Определитель блочно-диагональных матрицОпределитель
|A 0|
|B C|
Равен |A|*|C|. Аналогично
|A B|
|C 0|
Равен (-1)^n * |B| * |C| - 20Определитель Вандермонда - вид и формулаЭто определитель, у которого элементами i-й строки являются значения xj^(i-1). Он равен произведению всех возможных (xj - xi), таких что j > i.
- 21Определитель суммы матрицОпределитель суммы двух квадратных матриц равен сумме всех возможных определителей (коих 2^n), которые получаются выбором части строк из первой матрицы и остальной части строк из второй матрицы.
- 22Определитель произведения матриц, определитель прямой суммы матрицОпределитель произведения двух квадратных матриц, равно как и определитель прямой суммы двух квадратных матриц, равен произведению определителей этих матриц.
- 23Понятие обратной матрицыB - правая обратная матрица по отношению к A, если A*B = E
C - левая обратная матрица по отношению к A, если C*A = E
Если матрицы B и C существуют, то они совпадают. - 24Теорема о существовании левой и правой обратной матриц. Вид обратной матрицы.Для того, чтобы у матрицы A существовали правая и левая обратная матрицы, необходимо и достаточно, чтобы det A != 0. Обратная матрица к A вычисляется как транспонированная матрица алгебраических дополнений, деленная на величину det A.
- 25Понятие линейной зависимости строк/столбцов. Отношение линейной зависимости к линейной комбинации.Говорят, что строки/столбцы Ai являются линейно зависимыми, если есть такие числа bi, не все равные 0, что:
b1*A1 + ... + bn*An = 0
Чтобы строки/столбцы были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы одна из них была линейной комбинацией других. - 26Минор k-го порядка и ранг матрицыМинор k-го порядка матрицы A - определитель, составленный из элементов, лежащих на пересечении k строк и k столбцов матрицы A. Рангом матрицы называется число r, такое, что существует минор порядка r, отличный от нуля, но все миноры более высоких порядков равны нулю.
- 27Теорема о базисном минореБазисный минор - минор порядка r, отличный от 0, где r - ранг матрицы.
Строки и столбцы базисного минора линейно независимы. Любая строка/столбец матрицы, не входящая в базисный минор, является линейной комбинацией строк/столбцов базисного минора. - 28Теорема о линейной зависимости строк/столбцов и определителеДля того, чтобы определитель n-го порядка det A был равен 0, необходимо и достаточно, чтобы его строки/столбцы были линейно зависимы.
Informationen
- Beschreibung
- Карточки с основным материалом
- Erstellt von
- Sergei Fomin
- Aufrufe
- 126
- Tags
- Bewertung