Karteikarten
16. Differenzierbarkeit
Karten in diesem Stapel (40)
- 1Wann ist eine Funktion f differenzierbar?Wenn man an jeder Stelle der Funktion die Ableitung f'(x) bilden kann.
- 2Wann ist eine Funktion differenzierbar in einem Punkt a?Wenn dort der Grenzwert des Differenzenquotienten lim x→a existiert und von beiden Seiten gleich ist.
- 3Wie lautet die Formel zur Bestimmung des Grenzwerts \( x \to a \) des Differenzenquotienten einer Funktion f im Punkt a?\( \lim\limits_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} \)
- 4Wie lautet die Formel zur Bestimmung des Grenzwerts \( h \to 0 \) des Differenzenquotienten einer Funktion f im Punkt a?\( \frac{f(a + h) - f(a)}{h} \)
- 5Wie wird der Grenzwert des Differenzenquotienten einer Funktion f in einem Punkt a genannt und formal bezeichnet?Ableitung der Funktion f
an der Stelle a
Bezeichnung:
f'(a) - 6Ergänze: Ist eine Funktion in einem Punkt differenzierbar , so ist sie dort auch .. ?stetig
- 7Kann aus der Stetigkeit einer Funktion an einer Stelle automatisch auf die dortige Differenzierbarkeit geschlossen werden?Nein.
- 8Nenne ein Beispiel für Funktionen, die an einem Punkt stetig, aber dort nicht differenzierbar sind.Zusammengesetzte Funktionen, die rechtsseitig und linksseitig andere Grenzwerte aufweisen. z.B.:
links eine Gerade mit Steigung 1 und rechts Parabel mit Steigung 0 - 9Wie stehen die "Steigung" und der Differenzenquotient in Zusammenhang?Der Differenzenquotient ist die Steigung der Sehne(Sekante) zwischen den Punkten:
(a , f(a)) und (x, f(x)) - 10Wie wird der Differenzenquotient bzw. die Steigung der Sekante noch genannt?mittlere Steigung an der Stelle a
- 11Was ist eine Tangente?Eine Gerade, die den Graphen der Funktion an nur einem Punkt berührt
und die gleiche Steigung wie der Graph hat. - 12Wie bestimmt man die Tangentengleichung, wenn man die allgemeine Formel dafür nicht kennt?1. Ableitung bzw. Steigung f'(a) berechnen
2. Funktionswert f(a) berechnen
3. Beides in die allgemeine Geradengleichung y = m x + n einsetzen - 13Wie lautet die allgemeine Formel zur Aufstellung der Tangentengleichung?y = f(a) + f'(a)(x − a)
- 14Wie ist ein lokales Maximum einer Funktion definiert?wenn alle anderen Funktionswerte in der delta-Umgebung
\( U_{\delta}(a) \) um diesen Punkt kleiner gleich diesem Funktionswert sind. - 15Wie ist ein lokales Minimum einer Funktion definiert?dieses liegt vor, wenn es eine delta-Umgebung um a gibt, so dass alle anderen Funktionswerte darin größer gleich dem Funktionswert von a sind.
- 16Unter welchem Oberbegriff lassen sich lokale Minima und Maxima zusammenfassen?lokale Extrema
- 17Wann liegt ein globales Extremum vor?Wenn die delta-Umgebung den gesamte Definitionsbereich umfasst.
d.h. f(a) \( \leq \) f(x), für alle x aus D
dann globales Minimum,
Maximum analog - 18Was ist ein "innerer Punkt"?Ein Punkt x ∈ X heißt innerer Punkt von X,
wenn es eine δ-Umgebung \( U_δ(x) \)
für δ > 0 so gibt, dass \( U_δ(x)\) ganz in X liegt. - 19Nenne ein Beispiel bzw. Beispiele für innere Punkte einer Menge.Ein abgeschlossenes Intervall I.
Alle Punkte bis auf die Randpunkte sind innere Punkte von I - 20Wenn eine Funktion f an einem inneren Punkt a eines Intervalls ein lokales Extremum besitzt und dort auch differenzierbar ist, dann ist die Ableitung ..?von f dort 0.
==> f'(a) = 0 - 21Welche Steigung hat die Tangente bzw. wie verläuft diese an differenzierbaren Extremstellen einer Funktion?Diese verläuft parallel zur X-Achse.
Die Steigung ist also 0. - 22Wie lautet die Potenzregel zum Ableiten?\( f(x) = x^n \quad \rightarrow \quad f'(x) = n \cdot x^{n-1} \)
- 23Wie lautet die Summenregel beim Ableiten?Die Ableitung einer Summe von Funktionen ist die Summe der Ableitungen:
(f ± g)´(a) = f´(a) ± g´(a) - 24Wie lautet die Faktorregel beim Ableiten?Beim Ableiten bleibt der konstante Faktor unverändert erhalten.
f(x)=c⋅g(x) → f′(x)=c⋅g′(x) - 25Wie lautet die Produktregel beim Ableiten? (f * g)´(a) = ?"left d right + right d left"
(f * g)´(a) = f(a) * g´(a) + f´(a) * g(a)
linke Ableitung * rechte Funktion
+ rechte Ableitung * linke Funktion - 26Wie lautet die Quotientenregel zum Ableiten?\( f'(x)=\frac{h(x) \cdot g'(x) - g(x) \cdot h'(x)}{\left[h(x)\right]^2} \)
( Nenner mal Ableitung des Zählers minus Zähler mal Ableitung des Nenners )
geteilt durch Quadrat des Nenners - 27Mit welchem Merksatz kann man sich den Zähler der Quotientenregel besser merken?NAZ minus ZAN
"Nenner mal Ableitung des Zählers minus Zähler mal Ableitung des Nenners" - 28Wie lautet die Kettenregel zum Ableiten?Innere mal äußere Ableitung.
\( f(x) = g(h(x)) \quad \rightarrow \quad f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x) \) - 29Wie lautet die Reziprokregel zum Ableiten?Ableitung des Nenners geteilt durch Quadrat der Funktion:
\( (\frac{1}{g})´(a) = \frac{g´(a)} {(g(a))^2} \) - 30Wie lautet die Ableitung der Umkehrfunktion zu einer stetigen und streng monotonen Funktion f an einem Punkt a? (b = f(a))\( f^{-1} ` (b) = \frac{1} {f'(a)} \)
- 31Inwieweit sind Polynomfunktionen differenzierbar?Mit Potenzregel und Summenregel grds. alle
(solange Intervall mehr als einen Punkt enthält) - 32Inwieweit sind rationale Funktionen differenzierbar?Rationale Funktionen sind dort differenzierbar, wo sie definiert sind.
- 33Was ist die Ableitung der e-Funktion?Die e-Funktion selbst
- 34Was ist die Abletung des natürlichen Logarithmus? ln xDie Kehrwertfunktion 1/x
- 35Was ist die Ableitung des allgemeinen Logarithmus zur Basis a ? \( log_a (x) \)\( \frac {1} {x ln a} \)
- 36Was ist die Ableitung der allgemeinen Potenzfunktion zur Basis a? \( x^a \)nach Potenzregel:
\( a * x^{a-1} \) - 37Welche 5 spezifischen Eigenschaften weisen die Funktionen Sinus und Cosinus auf? (SinCos1 - SinCos5)1) auf ganz\(\R\) definiert u. stetig
2) -sin(x) = sin(-x) \( \wedge -cos(x) = cos(-x) \)
3) Additionstheoreme gelten
4) \( \lim_{x \to \infty} frac{sin(x)}{x} = 1 \)
5) cos(0) = 1 - 38Was besagen die Additionstheoreme?sin(x+y)=sin(x)cos(y)+cos(x)sin(y)
und
cos(x+y)=cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y) - 39Was besagt das erste Additionstheorem? sin (x+y) = ?sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)
- 40Was besagt das zweite Additionstheorem? cos(x+y) = ?cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y)
Informationen
- Beschreibung
- Mathematik (Grundlagen KE 5) Karteikarten am 16. Differenzierbarkeit, erstellt von David Bratschke am 30/05/2017.
- Erstellt von
- David Bratschke
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