Karteikarten
18.1 Reihen, Definition, Beispiele, erste Eigenschaften
Karten in diesem Stapel (30)
- 1Was ist eine Reihe?Die Folge der Partialsummen einer Folge.
- 2Was ist eine Partialsumme?Die Summe der n-ten Folgenglieder einer Folge
- 3Wie lautet die Formel für die n-te Partialsumme einer Folge?\( s_n = \sum\limits_{k=1}^{n} a_k \)
- 4Wie lässt sich der Grenzwert einer Reihe : \( \lim\limits_{n \to \infty} s_n\) durch das Summationssymbol schreiben?Als:
\( \sum\limits_{n = 1} ^{\infty} a_n = s \) - 5In welchen beiden Fällen kann der Ausdruck: \( \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n \) auftreten?Einmal als Bezeichnung der Folge der Partialsummen \((s_n)\)
und
als Grenzwert der Folge der Partialsummen
(sofern konvergent) - 6Was ist die harmonische Reihe?Die zur Folge: \( \frac{1}{k} \) gehörende Reihe:
\( \sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k} \) - 7Was ist die geometrische Reihe?Die zur Folge:
\( q^n \)
gehörende Reihe:
\( \sum\limits_{n=0}^{\infty} q^n \) - 8Warum ist bei der geometrischen Reihe: \( \sum\limits_{n=0}^{\infty} q^n \) = \( \frac {1- q^{n+1}} {1-q} \)Das lässt durch Induktion nach n zeigen. Bzw. durch die entstehende Teleskopsumme bei der Multiplikation der Reihe mit dem Term (q-1)
- 9Für welche q konvergiert bzw. divergiert die geometrische Reihe \( \sum\limits_{n=0}^{\infty} q^n \) ?Für |q| >= 1 divergiert die Reihe
und
Für |q| < 1 konvergiert sie gegen
\( \frac {1}{1-q} \) - 10Was ist die Taylorreihe im Entwicklungspunkt a und wie lautet die Formel?Eine unendliche Summe zur Annäherung von Funktionen. Im Grunde ein unendliches Taylorpolynom.
\( \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{f^{n}(a)}{n!} (x-a)^n \) - 11Beschreibe mit eigenen Worten wie die einzelnen Summanden der Taylorreihe gebildet werden.(Die n-te Ableitung an der Stelle geteilt durch n Fakultät)
mal
((x minus die Stelle) hoch n) - 12Wann ist die Taylorreihe zu einer Funktion f im Entwicklungspunkt a gleich der Funktion selbst?Wenn die Folge der Restglieder eine Nullfolge ist.
- 13Was ist die Exponentialreihe?Die Taylorreihe, welche gegen die Funktion exp(x) konvergiert.
- 14Welche Taylorreihe mit (Enwicklungspunkt 0) entspricht im Grenzfall der Exponentialfunktion?Die Reihe:
\( \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} \) - 15Wie wird die folgende Reihe genannt: \( \sum\limits_{n=0}^{\infty} -1^{(n-1)} \frac {x^n}{n} \) ?Logarithmusreihe.
- 16Was ist die Taylorreihe im Entwicklungspunkt 0 von: f(x) = ln (1 + x)?Die Logarithmusreihe:
\( \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n} (-1)^{n-1} \) - 17Was ist die alternierende hamonische Reihe?\( \sum\limits_{n=0}^{\infty} -1^{n-1}\frac{1}{n} \)
- 18Worin unterscheiden sich die harmonische Reihe und die alternierende harmonische Reihe in ihrem Konvergenzverhalten?Die harmonische Reihe ist divergent
während die alternierende Version konvergent ist. - 19Ist eine Reihe konvergent, so ist die zugehörige Folge \(( a_n)\)..?Eine Nullfolge
- 20Ist eine Reihe konvergent, dann ist die Folge der Partialsummen..?beschränkt.
- 21Eine Reihe ist genau dann konvergent, wenn...?Die Folge der Partialsummen beschränkt ist und die Glieder der Reihe nicht negativ sind.
- 22Wenn die Folge der Partialsummen einer Reihe eine Cauchyfolge ist, dann ist die Reihe?konvergent
- 23Wie kann man aus gegebenen konvergenten Reihen weitere konvergente Reihen bilden?Durch Addition der Reihen oder durch Multiplikation mit einem Skalar
- 24Die Summe zweier konvergenter Reihen A und B ist.. ? und es gilt..?ebenfalls konvergent,
und es gilt:
\( \sum a_n + b_n = \sum a_n + \sum b_n \) - 25sei \( \alpha \epsilon R \) und \( (s_n) \) eine konvergente Reihe der Folge \((a_n)\), dann ist: \( \sum \alpha * a_n \) = ?\( \alpha * s_n \)
- 26Sind zwei Reihen konvergent, dann ist ihr Produkt ..?Nicht zwangsläufig auch konvergent
- 27Wann ist das Produkt von zwei konvergenten Reihen a und b ebenfalls konvergent?Wenn die Reihe
der Absolutbeträge der Glieder konvergent sind. - 28Wann lässt sich das Cauchypodukt zweier Reihen A und B bilden und wie wird es gebildet?Wenn die Reihen der Absolutbeträge der Glieder konvergent sind. Dann gilt:
C = A * B - 29Aus welchen zwei Teilen setzt sich die Formel für die Taylorreihe zusammen?1. Teil Formel zur Berechnung des Koeffizienten eines Taylorpolynoms:
\(a_k\)
2. der polynomiale Term des jeweiligen Grades selbst abzüglich der Stelle a
\( (x-a)^k \) - 30Mit welchem Symbol wird die n-te Partialsumme eine Folge bezeichnet?\( s_n \)
Informationen
- Beschreibung
- Mathematik (Grundlagen KE 6) Karteikarten am 18. Reihen, erstellt von David Bratschke am 15/06/2017.
- Erstellt von
- David Bratschke
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