Ohne Titel

Introducción a la probabilidad

Experimentos, reglas de conteo y asignación de probabilidades

Eventos y sus probabilidades

Probabilidad condicional

Algunas relaciones básicas de probabilidad

un experimento es definido como un proceso que genera resultados definidos.

en cada una de las repeticiones del experimento, habrá uno y sólo uno de los posibles resultados experimentales.

Reglas de conteo, combinaciones y permutaciones

Experimentos de pasos múltiples La primera regla de conteo sirve para experimentos de pasos múltiples. Considere un experimento que consiste en lanzar dos monedas

los resultados

en términos de las caras y cruces que se observan en las dos monedas. Si se emplea H para denotar cara y T para denotar cruz, será el resultado experimental en el que se tiene cara en la primera moneda y cara en la segunda moneda.

Puntos muestrales y eventos son la

base para el estudio de la probabilidad. Por tanto, ahora se le presenta la definición formal de

evento como se emplea en relación con los puntos muestrales. Con esto se tiene la base para poder dar probabilidades de eventos.

Asignación de probabilidades

Los tres métodos comúnmente usados son el método clásico, el método de la frecuencia relativa y el método subjetivo.

Probabilidades para el proyecto KP&L

Proyecto KP&L hay que hallar las probabilidades de los nueve resultados experimentales enumerados en la tabla 4.1. Por tanto, no emplean el método clásico de asignación de probabilidades.

Los resultados

los administrativos deciden emplear el método de frecuencia relativa para asignar las probabilidades. Los administrativos podrían haber aportado probabilidades subjetivas, pero se dieron cuenta de que el proyecto actual era muy similar a los 40 proyectos anteriores.

Ejemplo

Los puntos muestrales (2, 6), (2, 7), (2, 8), (3, 6), (3, 7), (4, 6) correspondientes a

una duración del proyecto de 10 meses o menos. C denota el evento de que el proyecto dura 10

meses o menos:

La probabilidad de cualquier evento es igual a la suma de las probabilidades de los puntos muestrales que forman el evento.

De acuerdo con esta definición, la probabilidad de un determinado evento se calcula sumando las probabilidades de los puntos muestrales (resultados experimentales) que forman el evento.

Sin embargo, en muchos experimentos la gran cantidad de puntos muestrales hace en extremo difícil, si no imposible, la determinación de los puntos muestrales, así como la asignación de sus probabilidades correspondientes

En las secciones

restantes de este capítulo se presentan algunas relaciones básicas de probabilidad útiles para calcular la probabilidad de un evento, sin necesidad de conocer las probabilidades de todos los puntos muestrales.

Dado un evento A, el complemento de A se define como el evento que consta de todos los puntos muestrales que no están en A

Al diagrama de la figura 4.4 se le llama diagrama de Venn e ilustra el concepto del complemento.

Los puntos muestrales

El círculo representa el evento A y encierra sólo los puntos muestrales que pertenecen a A. La región del rectángulo que aparece sombreada incluye todos los puntos muestrales que no están en el evento A y es, por definición, el complemento de A.

Ley de la adición

La ley de la adición sirve para determinar la probabilidad de que ocurra por lo menos uno de dos eventos. Es decir, si A y B son eventos, nos interesa hallar la probabilidad de que ocurra el evento A o el B o ambos

Ejemplo

Se espera que todos los trabajadores terminen su trabajo a tiempo y que pase la inspección final. A veces, alguno de los empleados no satisface el estándar de desempeño, ya sea porque no termina a tiempo su trabajo o porque no ensambla bien una pieza.

Al final

el periodo de evaluación del desempeño, el jefe de producción encuentra que 5 de los 50 trabajadores no terminarón su trabajo a tiempo, 6 de los 50 trabajadores ensamblaron mal una pieza y 2 de los 50 trabajadores no terminarón su trabajo a tiempo y armaron mal una pieza.

Aplicaciones

Las autoridades de Clarkson University realizaron un sondeo entre sus alumnos para conocer su opinión acerca de su universidad. Una pregunta fue si la universidad no satisface sus expectativas, si las satisface o si supera sus expectativas. Encontraron que 4% de los interrogados no dieron una respuesta, 26% respondieron que la universidad no llenaba sus expectativas y 56% indicó que la universidad superaba sus expectativas

Con frecuencia, en la probabilidad de un evento influye el hecho de que un evento relacionado con él ya haya ocurrido. Suponga que tiene un evento A cuya probabilidad es P(A).

A esta nueva probabilidad del evento A se le conoce como probabilidad condicional y se expresa P(A | B). La notación | indica que se está considerando la probabilidad del evento A dada la condición de que el evento B ha ocurrido

Por tanto

la notación P(A | B) se lee “la probabilidad de A dado B”. Como ejemplo de la probabilidad condicional, considere el caso de las promociones de los agentes de policía de una determinada ciudad

Los directivos de la fuerza policiaca argumentaron que el número de mujeres promovidas no se debía a una discriminación, sino a que el número de mujeres que son agentes de policía es una cantidad pequeña. Ahora verá cómo emplear la probabilidad condicional para analizar esta acusación de discriminación.

Eventos independientes

Es claro que a la probabilidad de ser promovido (evento A) le afecta o le influye el que el oficial sea un hombre o una mujer. En concreto, como P(A | M) P(A) los eventos A y M son eventos dependientes

De manera similar, como P(A | W) P(A), los eventos A y W son eventos dependientes. Pero, si la probabilidad de un evento A no cambia por la existencia del evento M —es decir, si P(A | M) � P(A)—, entonces los eventos A y M son eventos independientes. Esto lleva a la definición de la independencia de dos eventos.

Ley de la multiplicación

Para ilustrar el uso de la ley de la multiplicación, considere el caso del departamento de circulación de un periódico al que 84% de los hogares de cierta región están suscritos a la edición diaria del periódico. Si D denota el evento un hogar suscrito a la edición diaria, P 0.84.