TEMA 2 VED

CALCULO DE LOS VALORES DE PROBABILIDAD

La probabilidad es un cálculo matemático mediante el cual se mide la posibilidad o certidumbre, en mayor o menor medida, que tiene un acontecimiento concreto de producirse. Responde a la necesidad de estimar de manera cuantitativa la evidencia. Si hablamos en porcentajes, es un número comprendido entre 0 y 100%.

APLICACIÓN AL CÁLCULO DE LA PROBABILIDAD

OBJETIVO

Establecer y desarrollar modelos matemáticos adaptados al estudio de situaciones que presentan cierto grado de incertidumbre.

EXPERIMENTO ALEATORIO

Aquel experimento del que no se conoce el resultado que se va a obtener, ya que este depende del azar. Por ejemplo el lanzamiento de un dado.

ESPACIO MUESTRAL

Conjunto de todos los resultados posibles en un experimento aleatorio.

SUCESO

Cada uno de los resultados posibles que podemos obtener de un experimento aleatorio.

TIPOS

SUCESO ELEMENTAL

Nos aporta información de un único resultado.

SUCESO COMPUESTO

Aporta información de varios resultados.

SUCESO SEGURO

Se repite de manera continuada.

SUCESO IMPOSIBLE

Un suceso que nunca se produce.

SUCESO COMPATIBLE

Sucesos que pueden darse se manera simultánea.

SUCESO INCOMPATIBLE

No pueden darse al mismo tiempo o de manera simultánea.

SUCESO CONTRARIO

Obtener A o lo contrario de A.

SUCESO INDEPENDIENTE

Cuando la probabilidad de A o B no se ve afectada por la probabilidad de A o B. Por lo tanto, si tenemos un suceso A y B, el suceso A, no depende de B y el suceso de B no depende de A.

SUCESO DEPENDIENTE

La probabilidad de que suceda el suceso A afecta a la probabilidad de que suceda el suceso B y viceversa.

COMO CALCULAR

Con la REGLA DE LAPLACE que permite conocer la probabilidad de A, que se representa con P(A)

AXIOMA DE LA PROBABILIDAD

- Enunciado, idea o propósito que por clara y evidente se acepta sin demostración.

- Principio sobre el cual se compone y ordena una teoría.

AXIOMA 1 (no negatividad)

La probabilidad es siempre positiva, igual o menor que 1. Siempre será mayor que 0 y menor que 1. Cuando un suceso no se puede materializar o suceder, la posibilidad de este suceso es 0.

AXIOMA 2 (certidumbre)

La probabilidad de un evento seguro, nombremos E al evento, siempre es 1. En estos casos, nos referimos a este suceso como un suceso seguro, ya que, al realizarse un experimento, con toda seguridad obtendremos un resultado; una probabilidad del 100%.

AXIOMA 3 (adición)

Cuando los sucesos A y B son sucesos incompatibles, no pueden realizarse al mismo tiempo.

TIPOS DE SUCESOS

SUCESOS INCOMPATIBLES

La probabilidad de que ocurran dos eventos o sucesos incompatibles A o B es igual a:

SUCESOS COMPATIBLES

La probabilidad de que ocurran dos eventos compatibles A o B es igual

SUCESOS COMPATIBLES EXCLUSIVOS

La probabilidad de sucesos compatibles exclusivos, A o B exclusivamente.

SUCESOS INDEPENDIENTES

Dos eventos A y B son independientes si A no influye de ninguna manera en B y viceversa, por tanto, la probabilidad de que ocurra el otro.

PROBABILIDAD CONDICIONADA

Se define como el coeficiente entre los casos favorables y aquellos que cumplen una condición. Es la probabilidad de ocurrencia de un fenómeno dentro de un subgrupo.

Dos sucesos serán dependientes si la probabilidad de que ocurra está condicionada al hecho de que ocurra al otro.

La probabilidad condicionada es la probabilidad que ocurre un suceso A si ha ocurrido un suceso B del que es dependiente P(A/B).

TEOREMA DE BAYES

Partiendo de la probabilidad del suceso A condicionado al suceso B P(A/B), el teorema de Bayes calcula la probabilidad de B condicionada a A P(B/A) despejando de la fórmula.

DISTRIBUCIÓN DE VARIABLES CONTINUAS

DISTRIBUCIÓN NORMAL

Una variable aleatoria sigue una distribución continua cuando se cumple que x puede tomar cualquier valor en un intervalo.

FUNCIÓN DE PROBABILIDAD O DENSIDAD

Las distribuciones de probabilidad de una variable continua x se definen por medio de función, y=f(X).

f(x)>0 ∀x: Todos los valores de la variable se deben encontrar por encima de eje de abscisas.

El área bajo la curva y=f(x) debe ser igual a 1.

Para hallar la probabilidad entre dos sucesos, P [a< x >b], se calculará el área que hay bajo la curva en el intervalo [a,b].

CARACTERÍSTICAS DE LA DISTRIBUCIÓN

P[A]=0

Si se desea calcular la probabilidad de una variable continua para un suceso concreto en una población infinita, esta probabilidad será igual a 0, P[x=a]=0. Si aplicamos la regla de Laplace, comprobaremos el resultado.

P[a<x<b] = P[a<x<b]

Ya que P(A) o P(B) es igual a 0. La igualdad es indiferente en este caso concretamente.

Para poder calcular la probabilidad dentro de un intervalo, es necesario integrar la función de la densidad, obteniéndose la función de distribución F(x)

La probabilidad de una variable aleatoria normal X en un intervalo a< x <b

Esta función no puede calcularse analíticamente y, como consecuencia, los valores están tabulados. Por lo tanto, se puede obtener el resultado de numerosos integrales en el que se utilizara la tabla de distribución normal (0,1).

DISTRIBUCIÓN NORMAL

Se caracteriza por los parámetros de la media y la desviación típica.

Tiene forma de campana, ya que es simétrica con relación a la media, donde también coinciden la mediana y la moda.

Función densidad

VALORES TÍPICOS Y DESVIACIÓN TÍPICA

Cuando menor es la desviación típica, menor es la dispersión y, por lo tanto, los valores están más cercanos al valor medio.

En una misma gráfica podemos encontrar dos curvas con la misma desviación típica, pero con diferente media, por lo que, la media produce un efecto de translación a lo largo del eje de abscisas (desplazamiento).

LÍMITES 2 σ E INTERPRETACIÓN

La interpretación geométrica que se le puede dar a la curva N.

Se puede interpretar la media como un factor de traslación.

Se puede interpretar la desviación típica como un factor de escala o grado de dispersión.

En cuanto a la interpretación probabilística, entre la media y una desviación típica tenemos siempre la misma probabilidad.

CARACTERÍSTICAS DE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL

Es la más utilizada, sobre todo en biomedicina, ya que, la mayoría de las variables aleatorias biomédicas siguen una distribución de este tipo.

Tiene forma de campana -> Campana de Gauss

Es simétrica respecto al punto central de la campana donde coinciden la media, mediana y moda.

Es mesocúrtica -> No es excesivamente aplanada ni excesivamente puntiaguda.

Su dispersión está perfectamente definida.

El intervalo medio ± desviación estándar (μ ± σ) agrupa el 68% de los

valores centrales.

El intervalo medio ± dos desviaciones estándar (μ ± 2σ) agrupa el 95%

de los valores centrales.

El intervalo medio ± tres desviaciones estándar (μ ± 3σ) agrupa el 99%

de los valores centrales.

Ser la distribución muestral que siguen los índices o estimuladores estadísticos calculados en una serie de muestras de la misma población.

DISTRIBUCIÓN NORMAL TIPIFICADA

Consiste en transformar la variable de nuestro ejercicio, en su equivalente de una distribución N(0,1).

INFERENCIA ESTADÍSTICA

Pretende demostrar relaciones entre las características observadas, extrayendo consecuencias científicas a partir de los datos. Esto se hace mediante los procedimientos de intervalos de confianza o contraste de hipótesis.

ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS POBLACIONALES

Extraemos una muestra de población.

Calculamos la media de una variable aleatoria de los individuos de dicha muestra.

A partir del parámetro muestral, queremos estimar cual es el valor de la media de dicha variable en la población.

El problema es, que aunque la muestra sea representativa, las observaciones muestrales no son directamente aplicables a la población, debido a la inevitable en la muestra.

Podríamos extraer infinitas muestras y hallar la media de todas las medias, pero como sería demasiado trabajo, la estadística inferencial nos proporciona la posibilidad de conocer parámetros poblaciones utilizando los datos de una muestra representativa cualquiera. La estrategia consiste en dar a la pregunta una respuesta probabilística mediante la utilización de intervalos de confianza.

INTERVALOS DE CONFIANZA

Es un rango de valores de la variable en el que nosotros confiamos que esté incluido el verdadero parámetro poblacional.

Previamente debemos establecer el error alfa que estamos dispuestos a asumir en la estimación, es decir, la probabilidad de que el verdadero valor del parámetro poblacional quede fuera de los límites del intervalo.

El nivel de confianza de la estimación “1-a” (complementario de a) determina la probabilidad de que el intervalo de confianza contenga el valor verdadero del parámetro poblacional.

Es frecuente establecer el nivel de confianza en torno a 95%, es decir, alfa=5%.

Como calcularlo

Para estimar la media μ de una población partiendo de una muestra n de la cual conocemos su media y desviación estándar, no habrá problema si la población de partida es normal, en caso contrario necesitamos una muestra relativamente grande y elegida de forma representativa.

Calculamos la media de una variable aleatoria en los individuos de dicha muestra

SIGNIFICACIÓN ESTADÍSTICA MEDIANTE EL GRADO P

Una vez obtenido el parámetro poblacional a partir de los datos de una muestra, ahora pretendemos saber si ese parámetro es estadísticamente significativo, es decir, si nuestro valor obtenido es real y no debido al azar en el muestreo.

En biomedicina tenemos dos situaciones:

Comparar proporciones de distintos grupos

Observar asociaciones distintas entre distintas variables

Una vez obtenido el parámetro poblacional a partir de los datos de una muestra, ahora pretendemos saber si ese parámetro es estadísticamente significativo, es decir, si nuestro valor obtenido es real y no debido al azar en el

muestreo.

El grado de significación p es la probabilidad calculada de que el azar haya generado el efecto observado, no existiendo realmente ese efecto.

CONTRASTE DE HIPÓTESIS

1. Establecer una hipótesis que se asume como cierta de entrada (H0 o hipótesis nula).

En un estudio que pretende asociar dos variables (cáncer de pulmón y tabaco) la H0 consiste en que “no hay asociación”.

En el estudio sobre la diferencia en el efecto de dos fármacos A y B, H0 sería no existe diferencia”.

A H0 se le suele asignar el argumento contrario al que queremos demostrar.

2. Medir el grado de significación p con alguno de los diferentes test de

contraste de hipótesis.

Medir el grado de significación p con alguno de los diferentes test de

contraste de hipótesis.

Hipótesis nula H0 es la proposición que se considera cierta de entrada, cuya veracidad se somete a examen.

Hipótesis alternativa H1 es la proposición que se aceptará si H0 resulta rechazada.

Error tipo 1 o error alfa a (falso positivo) : es el error aleatorio consiste en rechazar H0 cuando realmente es cierta, es decir, interpretamos que hay

diferencia cuando realmente no la hay.

Nivel de confianza (1- a , complementario de alfa)

TEST CHI CUADRADO

Es la prueba de contraste de hipótesis más utilizada en Medicina y Biología para comparar proporciones o porcentajes entre variables cualitativas, con datos agrupados en categorías y presentados en tablas de frecuencias con las que se da cada categoría, (tablas de contingencia). Para que sea realmente informativa, se necesitan un número suficiente de observaciones.

Es condicionalmente que ninguno de los valores esperados sea inferior a 5.

Como calcularlo

Los grados de libertad se calculan en función del número de filas y columnas

de la tabla de contingencia con la siguiente fórmula:

Grados de libertad (g.l.) = (columnas -1) (filas –1)

El grado libertad aparece en la tabla chi cuadrado como v.

1. Calculamos chi x2 mediante su fórmula.

2. Después buscamos el resultado en la tabla chi cuadrado y obtenemos la p.

3. Cuando tenemos la p comparamos el error alfa.