TEMA 2 VED

CÁLCULO DE LOS VALORES DE PROBABILIDAD

APLICACIONES AL CÁLCULO DE LA PROBABILIDAD

PROBABILIDAD

Es un cálculo matemático mediante el cual se mide la posibilidad o certidumbre que tiene un acontecimiento concreto de producirse. Responde a la necesidad de estimar de manera cuantitativa la evidencia, o no de que un evento suceda y se manifieste

La probabilidad tiene como objetivo establecer y desarrollar modelos matemáticos adaptados al estudio de situaciones que presenten cierto grado de incertidumbre.

Nos permite calcular un suceso de un experimento aleatorio

EXPERIMENTO ALEATORIO

Aquel experimento del que no se conoce el resultado que se va a obtener, ya que este depende del azar

ESPACIO MUESTRAL

SUCESOS

Conjunto de todos los resultados posibles en un experimento aleatorio

Es cada uno de los resultados posibles que podemos obtener en un experimento aleatorio

TIPOS

COMPATIBLES

CONTRARIOS

INCOMPATIBLES

DEPENDIENTE

INDEPENDIENTE

IMPOSIBLE

SEGURO

COMPUESTO

ELEMENTAL

Nos aporta información de un único resultado

Nos aporta información de varios resultados

Es aquel que se repite de manera continuada

Suceso que nunca se produce

Sucesos que pueden darse de manera simultánea

Son aquellos que no pueden darse al mismo tiempo

Obtener A o lo contario de A

La probabilidad de que suceda el seceso A afecta a la probabilidad de que suceda el suceso B y viceversa

Cuando la probabilidad de A o B se ve afectada por la probabilidad de A o B. Por lo tanto, si tenemos un suceso A o B, el suceso A no depende de B y el suceso B no depende de A

La probabilidad de que ocurran todos estos sucesos puede ser calculada

REGLA DE LAPLACE

Permite conocer la probabilidad de un suceso A, que se representará como P(A). Esta reglas sostiene que la probabilidad de un suceso se calcula dividiendo el número de los casos en los que el suceso es favorable entre el número de casos posibles del experimento

ANXIOMA DE LA PROBABILIDAD

Enunciado, idea o propósito que por clara y evidente se acepta sin demostración

Principio sobre el cual se compone y ordena una teoría

TIPO 1

La probabilidad es siempre positiva, igual o menor que 1

La probabilidad de que suceda A, siempre será mayor que 0 y menor que 1, ya que una probabilidad no puede ser negativa. Cuando un suceso no puede suceder, la probabilidad de ese suceso es 0. Estamos hablando de un suceso imposible

TIPO 2

La probabilidad de un evento seguro siempre es 1

Nos referimos a este suceso como un suceso seguro, ya que, al realizar un experimento con toda seguridad obtendremos un resultado, Tenemos una probabilidad del 100% de obtener un suceso dentro del espacio muestral

TIPO 3

Cuando los sucesos A y B son sucesos incompatibles, no pueden realizarse al mismo tiempo. Por lo tanto, la probabilidad de que A y B sucedan simultáneamente será igual a 0. Se dice, por lo tanto, que su intersección es igual al conjunto vacío. Es posible cuantificar la probabilidad sumando las probabilidades de A y B

COMPATIBLES EXCLUSIVOS

PROBABILIDAD CONDICIONADA

Dos sucesos serán dependientes si la probabilidad de que ocurra uno está condicionada al hecho de que ocurra el otro

Se puede definir como el cociente entre los cosas favorables y aquellos que cumplen una condición. Es la probabilidad de ocurrencia de un fenómeno dentro de un subgrupo

TEOREMA DE BAYES

Partiendo de la probabilidad del suceso A condicionada al suceso B, el Teorema de Bayes calcula la probabilidad de B condicionada a A

DISTRIBUCIONES DE VARIABLES CONTINUAS

Una variable aleatoria sigue una distribución continua cuando se cumple que x puede tomar cualquier valor en un intervalo. Se conoce como distribución normal

Se define por medio de una función, llamada función de probabilidad o función de densidad

Las probabilidades vienen dadas por el área bajo la curva. Por lo tanto, el área encerrada bajo la totalidad de la curva es 1, es decir, tomamos como unidad el área completada bajo la curva

PROPIEDADES

La función debe ser positiva para cualquier valor de x, es decir, todos los valores de la variable se deben encontrar por encima de eje de abscisas

El área bajo la curva debe ser igual a 1

f(x) mayor o igual a 0

CARACTERÍSTICAS

Ya que P(A) o P(B) es igual a 0. Teóricamente, la igualdad es indiferente en este caso concreto

P[a<x<b]

P[A]=0

Si se desea calcular la probabilidad de una variable continua ara un suceso concreto en una población infinita, esta probabilidad será igual a 0. Si aplicamos la regla de Laplace, comprobaremos el resultado

No puede calcularse analíticamente, por lo que los valores están tabulados. Se obtiene el resultado usando la tabla de distribución normal

DISTRIBUCIÓN NORMAL

Se caracteriza por dos parámetros: la media y la desviación típica

La curva normal adopta infinito número de formas puesto que existen infinitos valores de la media y de la desviación típica.

Además, tiene forma de campana, ya que es simétrica con relación a la media, donde también coinciden la mediana y la moda

VALORES TÍPICOS Y DESVIACIÓN TÍPICA

Cuanto menor es la desviación típica, menor es la dispersión y, por lo tanto, los valores están más cercanos al valor medio

LÍMITES 2σ E INTERPRETACIÓN

La interpretación geométrica que se le puede dar a la curva es la siguiente

Se puede interpretar la desviación típica (σ) como un factor de escala o grado de dispersión

Se puede interpretar la media (μ) como un factor de traslación

Tenemos siempre la misma probabilidad: Aproximadamente el 68%. Por su parte, entre la media y 2 desviaciones típicas existe una probabilidad aproximada del 95% y entre la media y +/- 3 veces la desviación típica, se encuentra prácticamente la totalidad de la población (99,99%)

CARACTERÍSTICAS

Es la más utilizada en Biomedicina, ya que, la mayoría de las variables aleatorias biomédicas siguen una distribución de este tipo

Tiene forma de campana, por lo que también se le conoce como "Campana de Gauss"

Ser simétrica respecto al punto central de la campana donde coinciden media, mediana y moda

Ser mesocúrtica

Su dispersión está perfectamente definida

El intervalo medio +/- tres desviación estándar agrupa el 99% de los valores centrales

El intervalo medio +/- dos desviación estándar agrupa el 95% de los valores centrales

El intervalo medio +/- desviación estándar agrupa el 68% de los valores centrales

Ser la distribución muestral que siguen los índices o estimadores estadísticos calculados en una serie de muestras de la misma población

DISTRIBUCIÓN TIPIFICADA

La tipificación consiste en transformar la variable en su equivalente de una distribución normal, con el fin de poder utilizar la tabla

INFERENCIA ESTADÍSTICA

La estadística inferencial pretende demostrar relaciones entre las características observadas, extrayendo consecuencias científicas a partir de los datos

Intervalos de confianza

Contraste de hipótesis

ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS POBLACIONALESN

Extraemos una muestra de una población

Calculamos la media de una variable aleatoria en los individuos de dicha muestra

A partir del parámetro muestral, queremos estimar cual es el valor de la media de dicha variable en la población

INTERVALO DE CONFIANZA

Es un rango de valores de la variable en el que nosotros confiamos que esté incluido el verdadero parámetro poblacional

Deberemos establecer el error ∝ alfa que estamos dispuestos a asumir en la estimación, es decir, la probabilidad de que el verdadero valor del parámetro poblacional quede fuera de los límites del intervalo

El nivel de confianza de la estimación "1-∝" determina la probabilidad de que el intervalo de confianza contenga el valor verdadero del parámetro poblacional

Es frecuente establecer el nivel de confianza en torno a 95%, es decir, ∝= 5%

CALCULO

Para estimar la media μ de una población partiendo de una muestra n de la cual podemos conocer su media y desviación estándar, no habrá problema si la población de partida es normal, en caso contrario necesitamos una muestra relativamente grande y elegida de forma representativa

SIGNIFICACIÓN ESTADÍSTICA MEDIANTE EL GRADO P

Una vez obtenido el parámetro poblacional a partir de los datos de una muestra, ahora pretendemos saber si nuestro valor obtenido es real y no debido al azar en el muestreo

GRADO DE SIGNIFICACIÓN P

Es la probabilidad de calculada de que el azar haya generado el efecto observado, no existiendo realmente ese efecto

CONTRASTE DE HIPÓTESIS

PASOS

Establecer una hipótesis que se asume como cierta de entrada (H0 o hipótesis nula)

Medir el grado de significación p con alguno de los diferentes test de contraste de hipótesis

Decidimos si el resultado es significativo:

Es la proposición que se considera cierta de entrada, cuya veracidad se somete a examen

HIPÓTESIS NULA H0

HIPÓTESIS ALTERNATIVA H1

ERROR TIPO 1

Es la proposición que se aceptará si H0 resulta rechazada

Es el error aleatorio, consiste en rechazar H0 cuando realmente es cierta, es decir, interpretamos que hay diferencia cuando realmente no la hay

NIVEL DE CONFIANZA

TEST CHI CUADRADO

Es la prueba de contraste de hipótesis más utilizada en Medicina y Biología para comparar proporciones o porcentajes entre variables cualitativas, con datos agrupados en categorías y presentados en tablas de frecuencias con las que se da cada categoría (tablas de contingencia)

Es condicionante que ninguno de los valores esperados sea inferior a 5

CHI CUADRADO CALCULADO

1. Calculamos Chi cuadrado mediante su fórmula

2. Después buscamos el resultado en la tabla de Chi cuadrado y obtenemos la p.

3. Cuando la p, comparamos con el error alfa

GRADOS DE LIBERTAD

Se calculan en función del número de filas y columnas de la tabla de contingencia

Cuando P < error alfa: Hay significación estadística aceptamos H1

Cuando P > error alfa: No hay significación estadística aceptamos H0

Cuando P = error alfa: Existe significación estadística entre 2 variables, pero no se acepta ninguna de las dos hipótesis