Algebra

Bienvenidos: En este curso podrás consultar acerca de la jerarquía de operaciones, las operaciones básicas de los binomios (suma, resta, multiplicación, división) también sobre las ecuaciones de primer y segundo grado, así que ya sabes si tienes una duda sobre estos tema aquí lo podrás consultar, al igual si tienes alguna otra duda sobre un tema de matemáticas no dudes en entrar a nuestra páginas y resolveremos tus dudas.   Misión Proporcionar habilidades matemáticas básicas y reforzar conocimientos previos de los estudiantes para su mejor aprendizaje del tema. Visión Ser una plataforma reconocida y productiva para el aprendizaje de los diferentes ámbitos que tiene la materia.       Últimas actualizaciónes         04 / 05 / 2018        9: 20 am      28 / 05 / 2018      11: 00 am         28 / 05 / 2018         6: 00 pm  

Jerarquía de operaciones   ¿Qué es? Es la estructura que le da el orden al resolver una operación   Pasos a realizar 1° Simplificar paréntesis                                                            (), [], {} 2° Resolver exponentes y raíces                                               x^2, x^1/2, √ 3° Resolver las multiplicaciones y divisiones                          *, x, (), /, ÷ 4° Resolver las sumas (positivas y negativas)                         +, -         Ejemplo 2 * ( ( 324 / 2 - 10^2  ) + 657 / 3 * 9 ) 2 * ( ( 324 / 2 - 100  ) + 657 / 3 * 9 )    2 * ( (162- 100  ) + 657 / 3 * 9 )            2 * ( 62+ 657 / 3 * 9 )              2 * ( 62 + 219 * 9 )                2 * ( 62 + 1971)                    2 * (2033)                       4066     Ejercicios  1°  65 + 32 * ( 5^2 / ( 4 + 3 * 2) ) – 80   2°  –  4 – ( – 3 ) + √9   3°  [ ( 55 – 15 ) + (5 + 12 / 6^3 ) ]   4°  768 – ( ( 324 / 3 * √9 ) + 60 / 3 + 5^3 )   5°  327 + ( 9 / (18 + 6 * 3 ) – 4 * – 22 ) – 253 * 657                         Respuestas  1°  65 2°  2 3°  40.277 4°   - 2056  5°  - 165805.75  

Operaciones fundamentales Adición y sustracción de monomios y polinomios      Forma 1: "Monomios": Consta únicamente por una suma o resta de dos términos , es decir, separados por un signo de más (+) o de menos (-). Ejemplo de monomio: 4df   Pasos a realizar  1°  Primero identificamos si esta es una suma o una resta                                     5ds – 6ds 2° Ya identificada realizamos la operación. En este caso es una resta, la resta se realizara en los coeficientes (los números) que es                                      5 – 6 = 1 3° La litera literal simplemente se pasa igual al resultado de la operación                                        1ds = ds     Nota: cuando los monomios tengan diferentes literales estos quedan igual                                 EJ: 2fd – 4jh =  2fd – 4jh   Nota: Cuando un término no tenga coeficiente quiere decir que su valor es 1 Ej: ad = 1ad              Forma 2: "Polinomio": Consta únicamente por una suma o resta de dos términos , es decir, separados por un signo de más (+) o de menos (-).   1°  Primero buscamos los términos con las variables iguales                        2bc – 4ad –  5rt– bc + 10ad + 9rt  2° Restamos o sumamos los términos con las variables iguales                             2bc – bc = bc                        10ad – 4ad = 6ad                           9rt - 5rt = 4rt 3° Acomodamos los resultados                           bc + 6ad + 4rt   Nota: El resultado se unirá con los signos que nos dan en el resultado de cada suma o resta Ej: +bc, +6ad =     bc + 6ad Ej: – as, +fg=   gf – as       Ejercicios 1°  2x2 – 10x4 + 3y – 3y + 4x2   2°  3x2y + 6ds – 8x2 y + 11ds   3°  7df – df + 9y   4° ( 2xk - 65y + 39op ) + ( 5xk - 5y  + 10)         Multiplicación de monomios y polinomios      En la multiplicación aplica la siguiente propiedad: “el orden de los factores no altera el producto”, esta propiedad es llamada: “Ley conmutativa”. Por ejemplo: el producto xyz se puede escribir como yzx o zxy. En la multiplicación se aplica la siguiente propiedad: “Los factores pueden agruparse de cualquier manera”, esta propiedad es llamada: “Ley asociativa”.  Por ejemplo: si se tiene x, y, z se cumplirá que (xy)z=x(yz).     En la multiplicación aplicamos la “ley de signos”: + por +  =  + – por –  =  + + por –  =  – – por +  =  –      Forma 1: "Monomios":   Al igual que la suma consta únicamente por una multiplicación  de dos términos , es decir, separados por un signo de por (*). Ejemplo de monomio: 4df   Pasos a realizar 1°   Multiplicamos los signos de todos los monomios (aplicamos ley de signos)                          ...

Factorización Descomponer en factores significa: expresar un numero como multiplicación de números primos. Para descomponer en factores un polinomio deberás tener en cuenta los productos notables. Los principales casos de descomposición de factores son los siguientes: Factor común monomio. Factor común polinomio. Agrupación de términos. Trinomio cuadrado perfecto. Diferencia de cuadrados.                      Suma o diferencia de cubos.     Forma 1: “FACTOR COMÚN MONOMIO” Ejemplo 1: 3x3-2x2 Procedimiento para resolver: Notemos que el factor común en la expresión, es (x). Sacamos el factor común con el exponente menor de los que aparecen en la expresión, en este caso tenemos (x3 y x2) el menor es x2. Enseguida necesitamos sacar el número mayor común entre los coeficientes (3 y 2), pero no hay ningún numero en común que los divida a ambos. Entonces dejamos el 1. Ahora necesitamos números que, al multiplicarlos por nuestro factor común (x2), nos resulte la expresión original 3x3-2x2. Esto es: x2(3x-2). Al hacer la multiplicación obtenemos nuestra expresión original.   Ejemplo 2: 4x3-20x2+12x Procedimiento para resolver: Notemos que el factor común en la expresión, es (x). Sacamos el factor común con el exponente menor de los que aparecen en la expresión, en este caso tenemos (x3, x2 y x) el menor es x. Enseguida necesitamos sacar el número mayor común entre los coeficientes (4, 20 y 12), este es el 4. Ahora necesitamos números que, al multiplicarlos por nuestro factor común (4x), nos resulte la expresión original 4x3-20x2+12x Esto es: 4x(x2-5x+3). Al hacer la multiplicación obtenemos nuestra expresión original.   Video Recomendado https://www.youtube.com/watch?v=N5xGLmx9oHE       Forma 2: “FACTOR COMÚN POLINOMIO” Ejemplo 1: 2x (a-1) + y (a-1) Procedimiento para resolver: Identificamos el polinomio común en las dos expresiones: (a-1). Enseguida agrupamos los primeros términos de ambas expresiones como una suma: (2x + y). Finalmente multiplicamos la agrupación por nuestro polinomio común: (2x + y) (a-1).   Video Recomendado  https://www.youtube.com/watch?v=JjbFpdlwPW8       Forma 3 “AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS” Ejemplo 1: (mr + ms + nr + ns) Procedimiento para resolver: Buscamos un término común entre dos expresiones: encontramos que mr y ms tienen la m como común, mientras que nr y ns tienen la n como común. Enseguida agrupamos los pares que encontramos en una suma: (mr+ms) + (nr+ns). Sacamos de los paréntesis al termino común en cada uno: m(r+s) + n(r+s). Ahora agrupamos los términos comunes (m+n) multiplicando con el binomio común que resultó (r+s). Nos resulta la expresión (m+n) (r+s).     Ejemplo 2: (24x2 + 40xy + 9xy + 15y2). Procedimiento para resolver: Buscamos un término común entre dos expresiones, tomando en cuenta que los coeficientes tengan un común divisor. Encontramos que 24x2 y 40xy tienen la (x) y al (8) como común, mientras que 9xy y 15y2 tienen la (y) y al (3) como común. Enseguida agrupamos los pares que encontramos en una suma: (24x2 + 40xy) + (9xy + 15y2). Sacamos de los paréntesis al termino común en cada uno, cuidando que la multiplicación no resulte la expresión original: (24x2 + 40xy) = 8x (3x+5y). (9xy + 15y2) = 3y (3x+5y). Ahora agrupamos los términos comunes (8x+3y) multiplicando con el binomio común que resultó (3x+5y). Nos resulta la expresión (8x+3y) (3x+5y).       Forma 4 “TRINOMIO CUADRADO PERFECTO” Ejemplo 1: x2 + 2xy + y2. Procedimiento para resolver: Tengamos en cuenta que un trinomio cuadrado perfecto resulta de desarrollar un binomio al cuadrado. Véase en productos notables. Primero obtenemos la raíz del primer término (x2) = x. Enseguida obtenemos la raíz del segundo término (y2) = y. Ahora, cuidado, recuerda que la regla del binomio al cuadrado es que el término del medio es la multiplicación del primer...

Productos Notables Al resultado de una multiplicación, como sabemos se le llama producto. Luego, un producto notable es el resultado de una multiplicación con características específicas, o notables. Al identificar estas características es posible obtener el producto sin necesidad de hacer la multiplicación de la forma acostumbrada. De los productos notables sobresalen los siguientes casos: Forma (a+b)2 o (a-b)2 Binomio al cuadrado. Forma (a+b) (a-b) Producto de la suma de dos cantidades por la diferencia de las mismas. Forma (a+b+c)2 Trinomio al cuadrado. Forma (a+b) (a+c) Producto de dos binomios con un término común. Forma (a+b)3 Binomio al cubo.       FORMA 1 “BINOMIO AL CUADRADO” Proceso para resolver: Ejemplo 1: (3x4+6y)2   Se toma el coeficiente del primer término, en este caso el 3 y se eleva al cuadrado. El resultado de (3)(3) = 9. Se toma el exponente del primer término, en este caso es 4, y se multiplica por 2. (4)(2) = 8. Se toma el signo entre ambos términos (+). Enseguida se toma el primer término (3x4), se multiplica por el segundo (6y) y luego el resultado (18x4y) se multiplica por 2 = 36x4y. Se toma el signo que resulte de multiplicar ambos términos (+) (+) = +. Se toma el coeficiente del segundo término, en este caso el 6 y se eleva al cuadrado. El resultado de (6)(6) = 36. Se toma el exponente del segundo término, en este caso es 1, y se multiplica por 2. (1)(2) = 2. Finalmente hacemos la expresión algebraica: 9x8+36x4y+36y2.   EJERCICIOS PROPUESTOS (x+y)2 (3x+2y)2 (2x4+4y3)2 Video recomendado: https://www.youtube.com/watch?v=fDAvbIYS87I     FORMA 2 “PRODUCTO DE LA SUMA DE 2 CANTIDADES POR LA DIFERENCIA DE LAS MISMAS” Proceso para resolver: Ejemplo 1: (3x4+6y) (3x4-6y)   Se toma el primer término del primer binomio (3x4), luego se multiplica por el primer término del segundo binomio (3x4) = 9x8, (teniendo en cuenta que, en una multiplicación, los exponentes se suman). Enseguida tomamos el signo que resulte de multiplicar el de ambos binomios. (+)(-) = (-) Finalmente se toma el segundo término del primer binomio (6y), luego se multiplica por el segundo término del segundo binomio (6y) = 36y2. Obtenemos la expresión: 9x8-36y2.   EJERCICIOS PROPUESTOS   (4x-2) (4x+2) (3x3+2y) (3x3-2y) (2x5+6y) (2x5-6y)     FORMA 3 “TRINOMIO AL CUADRADO” Proceso para resolver: Ejemplo 1: (3x4+6y2-4z)2   Se toma el primer término del trinomio (+3x4), y se eleva al cuadrado = 9x8 luego se eleva al cuadrado el segundo término (+6y2) = 36y4. Luego elevamos el tercero al cuadrado (-4z) = +16z2. Enseguida tomamos el primer y el segundo término, y los multiplicamos: (+3x4) (+6y2) = 18x4y2. Luego multiplicamos el resultado por 2 = 36x4y2. Luego tomamos el primer término nuevamente y lo multiplicamos por el tercero: (+3x4) (-4z) = -12 x4z. Luego multiplicamos el resultado por 2 =-24 x4z Finalmente multiplicamos el segundo termino con el tercero: (+6y2) (-4z) = -24y2z. Luego multiplicamos el resultado por 2 = -48y2z. Obtenemos la expresión: 9x8+36y4+16z2+36x4y2-24x4z-48y2z.       EJERCICIOS PROPUESTOS (x4+y2-z)2 (4x3+2y3-8z2)2 (5x5+4y4-3z)2   Video recomendado: https://www.youtube.com/watch?v=YQx4QwzDosI     FORMA 4 “PRODUCTO DE DOS BINOMIOS CON UN TERMINO EN COMUN” Proceso para resolver: Ejemplo 1: (x+6) (x-7)   Primero se toma el primer término del primer binomio (x) y se multiplica por el primer término del segundo binomio (x) = x2. Enseguida multiplicamos el primer término del primer binomio (x) por la suma del segundo término del primer binomio y el segundo término del segundo binomio (+6-7) = x (-1) = -x. Finalmente se multiplican los segundos términos de los binomios (6) (7) = +42. Obtenemos la expresión: x2-x+42   EJERCICIOS PROPUESTOS   (x-4) (x+3) (x2+6) (x2-7) (x+8) (x-2) Video recomendado: https://www.youtube.com/watch?v=MmvCcHMYJoQ     FORMA 5 “BINOMIO AL CUBO” Proceso para resolver: Ejemplo 1: (2m+3b)3...

 ECUACIONES LINEALES Subtemas: 1.- con una incógnita. 2.-con dos y tres incógnitas.   Ecuaciones lineales: Una ecuación en la que el mayor exponente de la o las incógnitas es 1 es una ecuación de primer grado o ecuación lineal. Si el mayor exponente es 2 entonces es una ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática   Resolver un sistema de ecuaciones consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables que satisfacen todas las ecuaciones. Usaremos diferentes métodos para resolver este tipo de ecuaciones.       Método de sustitución Paso 1.- Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones. Paso 2.- Se sustituye la expresión de esta incógnita en la otra ecuación, obteniendo una ecuación con una sola incógnita. Paso 3.- Se resuelve la ecuación. Paso 4.- El valor obtenido se sustituye en la ecuación en la que aparecía la incógnita despejada. Paso 5.- Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema. Ejemplo 3X - 4Y= -6 2X + 4Y=16 1.- Despejamos una de las incógnitas en una de las dos ecuaciones. Elegimos la incógnita que tenga el coeficiente más bajo. 2X = 16 – 4Y                                                   X= 8 – 2Y 2.- Sustituimos en la otra ecuación la variable x, por el valor anterior: 3 (8 - 2Y) – 4Y= -6 3.- Resolvemos la ecuación obtenida: 24 – 6Y – 4Y = -6                                        -10Y= -30                                    Y=3 4.- Sustituimos el valor obtenido en la variable despejada. X = 8 - 2.3 = 8 - 6                                                X = 2 5.- Solución X = 2           Y = 3     Método de igualación Paso 1.- Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones. Paso 2.- Se igualan las expresiones, con lo que obtenemos una ecuación con una incógnita. Paso 3.- Se resuelve la ecuación. Paso 4.- El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresiones en las que aparecía despejada la otra incógnita. Paso 5.- Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema. Ejemplo 3X – 4Y = - 6 2X + 4Y = 16 1.- Despejamos, por ejemplo, la incógnita x de la primera y segunda ecuación: 3X = - 6 + 4Y                                            X = - 6 + 4Y / 3 2X = 16 – 4Y                                            X = 16 – 4Y / 2 2.- Igualamos ambas expresiones: - 6 + 4Y / 3 = 16 – 4Y / 2 3.- Resolvemos la ecuación: 2 ( -6 + 4Y) = 3 (16 – 4Y)                                            -12 + 8Y = 48...

Determinantes Al igual que los métodos anteriores este método nos ayuda a resolver ecuaciones lineales, solo que a diferencia de los métodos anteriores este nos proporciona una fórmula para resolver las ecuaciones. a1x1 + b1y1 = c1 a2x2 + b2y2 = c2 1.- Para calcular X usamos la siguiente formula: X = c1          b1        c2          b2        a1         b1        a2         b2 De esta forma se acomodan los valores correspondientes y se multiplican cruzado y se divide con el resultado de abajo; es decir: c1b2 – c2b1 / a1b2 – a2b1   2.- Para calcular Y usamos la siguiente formula: Y = a1          c1        a2         c2        a1         b1        a2         b2 De esta forma se acomodan los valores correspondientes y se multiplican cruzado y se divide con el resultado de abajo; es decir: a1c2 – a2c1 / a1b2 – a2b1   3.- Y así con estas formulas obtenemos el valor de X y el valor de Y respectivamente.   Ejemplo Resolver las siguientes ecuaciones con determinantes: 4X + 5Y = 30 3X + 7Y =29 1.- Primero identificamos que valor le corresponde a cada letra de la formula (a, b, c). 4X + 5Y = 30                               3X + 7Y = 29 a1   + b1   = c1                           a2 + b2 = c2   2.- Después sustituimos estos valores en la formula correspondiente, ya sea para X o Y. X = c1          b1                                     30     5        c2          b2                                    29     7        a1         b1                                     4       5        a2         b2                                     3       7   Y = a1          c1                                     4      30        a2          c2                                 ...

Ecuaciones Cuadráticas     Una ecuación cuadrática es una ecuación en su forma ax^2 + bx + c, donde  a, b, y c son números reales.    Ejemplo: 9x^2 + 6x + 10         a = 9               b = 6                c = 10 3x^2  - 9x                 a = 3                b = -9               c = 0 -6x^2 + 10                a = -6               b = 0                c = 10       Hay tres formas de hallar el o los valores de la variable de las ecuaciones cuadráticas:        Forma 1: Factorización Simple: La factorización simple consiste en convertir la ecuación cuadrática en un producto de binomios. Luego, se busca el valor de x de cada binomio.    Realizar la factorización simple de la ecuación Hay que buscar dos números que multipliquen y den el valor de “c” y que a la vez sumen y el valor sea igual a “b”. En este caso, dos números cuyo producto sea -8, y que estos mismos números sumen 2.  x^2 + 2x – 8  = 0          a = 1    b = 2    c = - 8    (x       )   (x       ) = 0                 [x ·x = x^2]    ( x + y )   (x  -  z ) = 0                                               Operación                                                                                 y= 4   y    z=2      (x + 4 ) (x – 2) = 0                                  4 + -2 = 2             ;           4 · -2 = -8                    Ejercicios de Practicas  5a^2 + 15a = 0 r^2 – 5r + 6 = 0. 5b^2 + 4 = -12b       Video Recomendado  https://www.youtube.com/watch?v=dXakJkBRpqM                                                                           Forma 2: Completando el Cuadrado:   En este método, la ecuación  tiene que estar en su forma ax2+bx+c; y siempre la constante de a tiene que ser igual a 1.   Por ejemplo, para factorizar la ecuación 4x2 + 12x – 8 = 0, hay que despejar de la siguiente forma:    *   Hay que despejar por la constante “a”,  en este caso es 4 4x2 + 12x – 8  = 0   4        4      4      4 x2 + 3x – 2 = 0   Ahora,  a= 1.    Pasos a realizar  1°   Cuando ya esté en su forma donde a = 1.                              x^2 + 2x – 8 = 0           ...

Esta información fue recabada del curso del Ing. Herman Martínez Almaraz                           Bibliografías https://vitual.lat/multiplicacion-de-polinomios/ https://vitual.lat/multiplicacion-de-monomios/                                      Autores Bonilla Ramírez Perla Dariana Castruita Ruelas Stefania García González Sanjuana                           6° “C”        Programación         CBTis  # 141   Últimas actualizaciónes          04 / 05 / 2018        9: 20 am        28 / 05 / 2018        11: 00 am         28 / 05 / 2018         6: 00 pm