Ecuaciones de segundo grado

Ecuaciones de segundo grado

1. Aquellas que poseen de 0 a 2 soluciones

   • ax 2 + bx + c = 0 , donde a, b , y c son números reales.
     • Completas
   • Existen distintos métodos de resolución
     • Por factorizacion
       • En toda ecuación cuadrática uno de sus miembros es un polinomio de segundo grado y el otro es cero; entonces, cuando el polinomio de segundo grado pueda factorizarse, tenemos que convertirlo en un producto de binomios. Obtenido el producto de binomios, debemos buscar el valor de x de cada uno. Para hacerlo igualamos a cero cada factor y se despeja para la variable. Igualamos a cero ya que sabemos que si un producto es igual a cero, uno de sus multiplicandos, o ambos, es igual a cero.
     • Por completacion de cuadrados
       • Se llama método de la completación de cuadrados porque se puede completar un cuadrado geométricamente, y porque en la ecuación cuadrática se pueden realizar operaciones algebraicas que la transforman en una ecuación del tipo: (ax + b) 2 = n
         • x 2 + 8x = 48 , el 8 representa al doble del segundo número del binomio, por lo tanto, ese número debe ser obligadamente 8 dividido por 2 (8/2), que es igual a 4, y como en el cuadrado de la suma de un binomio ( a 2 + 2ab + b 2 ) el tercer término corresponde al cuadrado del segundo término (4 2 = 16) amplificamos ambos miembros de la ecuación por 16, así tenemos x 2 + 8x + 16 = 48 + 16 x 2 + 8x + 16 = 64 la cual, factorizando, podemos escribir como sigue: (x + 4) (x + 4) = 64 Que es igual a (x + 4) 2 = 64 Extraemos raíz cuadrada de ambos miembros y tenemos ecuacion_seg_grado033 Nos queda x + 4 = 8 Entonces x = 8 − 4 x = 4
     • Por fórmula general
       • Ecuacion_Seg_Grado001 La fórmula genera dos respuestas: Una con el signo más (+) y otra con el signo menos (−) antes de la raíz. Solucionar una ecuación de segundo grado se limita, entonces, a identificar las letras a , b y c y sustituir sus valores en la fórmula. La fórmula general para resolver una ecuación de segundo grado sirve para resolver cualquier ecuación de segundo grado, sea completa o incompleta , y obtener buenos resultados tiene que ver con las técnicas de factorización.
   • b 2 – 4ac se denomina discriminante y se simboliza por Δ . El número de soluciones (llamadas también raíces) depende del signo de Δ
     • Si Δ es positivo, la ecuación tiene dos soluciones. Si Δ es negativo, la ecuación no tiene solución. Si Δ es cero, la ecuación tiene una única solución.
   • ax 2 = 0; si b = 0 y c = 0. ax 2 + bx = 0; si c = 0. ax 2 + c = 0; si b = 0.
     • Incompletas

2. Propiedades de las raíces

   • Una raíz corresponde a un número que, al multiplicarse por sí mismo la cantidad de veces que indique el indice, se obtiene la cantidad subradical.
     • Sea c un número real y n un número natural mayor que 1. Si xn = c, decimos que x es la raíz enésima de c, que se escribe n√c, es decir, X es el único número real cuya potencia n-ésima es c.
       • nos sirven para simplificar los radicales al máximo, y reducirlos
         • La raíz de un producto es igual al producto de la raíz de cada uno de los factores.
         • La división de radicales es igual a la raíz del numerador entre la raíz del denominador.
         • La raíz de una raíz da lugar a otro radical cuyo índice es igual a la multiplicación de los índices de cada uno de los radicales
         • a raíz de una potencia es igual a otra raíz con un índice que se obtiene de dividir el índice de la raíz entre el exponente de la potencia. Si coinciden el índice y el exponente nos quedamos con el número simplificado al máximo.
         • La potencia de una raíz es igual al radical de ese número elevado a la potencia que se elevaba el conjunto del radical.