Secciones Cónicas

Secciones Cónicas

1. Curvas Cónicas

   • Un poco de historia...
     • Apolonio de Perga
       • Parábola (colocar al lado o comparar)
       • Hyperbola (avanzar más allá)
       • Ellipsis (deficiencia)
       • Propiedades útiles e interesantes de las cónicas
         • Propiedades de Reflexión
         • Propiedad Análoga
     • René Descartes
       • Crea la Geometría Analítica
         • Método para relacionar las curvas con ecucaciones
         • Las curvas cónicas
           • Se representan por
             • Ecuaciones de segundo grado
             • Con las variables "x" e "y"
     • Menecmo (siglo 350 A.C)
       • Descubrió estas curvas
     • Arquímedes
       • Pone a prueba la propiedad reflexiva de la Parábola
         • La leyenda de Arquímedes en la cual incendia las naves romanas a partir de las propiedades
   • Se obtienen cortando un cono con un plano

2. Superficie cónica

   • Generatriz (g)
     • Recta oblicua
   • Eje (e)
     • Recta fija - eje de rotación
   • Vértice (v)
     • Punto central - Corte
   • Las Hojas
     • Las 2 partes de la superficie cónica
     • Los separa el vértice

3. Intersección de un cono con un plano que no pasa por su vértice

4. Circunferencias

   • Definiciones
     • Lugar geométrico de los puntos que equidistan con un punto central (Centro)
     • Tipo de elipse con excentricidad nula
   • Centro = C(h, k)
   • Ecuación Canónica
     • √((x-a)^2 + (y-b)^2) = d(C,P)
       • (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2
       • x^2 + y^2 = r^2
     • Si...
       • C = (0,0) "En el origen"
       • Si la desarrollamos la ecuación canónica y la igualamos a 0
   • Ecuación General
     • x^2 + y^2 - 2ax - 2by + a^2 + b^2 - r^2 = 0
       • x^2 + y^2 + Dx +Ey + F = 0
     • Si...
       • Cambiamos ->
         • D = -2a
           • E = -2b
             • F = a^2 + b^2 - r^2
   • Para caracterizar la ecuación general, se expresa en forma canónica
     • x^2 + y^2 + Dx +Ey + F = 0
       • Por completación de cuadrados
         • [x^2 + Dx + (D^2)/2] + [y^2 + Ey + (E^2)/2] = - F + (D^2)/4 + (E^2)/4
           • (x + D/2)^2 + (y + E/2)^2 = (D^2)/4 + (E^2)/4 - F
             • De lo anterior podemos concluir que...
               • C(-D/2 , -E/2)
               • • Para que la expresión del tipo: x^2 + y^2 - 2ax - 2by + a^2 + b^2 - r^2 = 0 sea una circunferencia debe cumplir que:
                   • Los coeficientes de x^2 e y^2 sean iguales a la unidad.
                     • Si ambos tuvieran un mismo coeficiente distinto a 1 entonces...
                       • podríamos dividir por él todos los términos de la ecuación
   • Usos en la cotidianidad

5. Elipses

   • Definiciones
     • lugar geométrico
     • los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.
   • Elementos de los elipses
     • Focos
     • Eje Focal
     • Eje secundario
     • Centro
     • Radios vectores
     • Distancia focal
     • Vértices
     • eje mayor
     • Eje menor
     • Ejes de simetría
     • Centro de simetría
   • Ecuación
     • d(P, F) + d(P, F') = 2a
       • √((x-c)^2 + y^2 ) + √((x+c)^2 + y^2 ) = a
         • (x^2 / a^2) + (y^2 / b^2) = 1
   • Excentricidad
     • Número que mide el mayor o menor achatamiento de la elipse.
   • Usos en la cotidianidad

6. Hipérbolas

   • Lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a los puntos fijos llamados focos es constante en valor absoluto.
   • Elementos de la hipérbola
     • Focos
     • Eje Focal
     • Eje secundario o imaginario
     • Asíntotas
     • Centro
     • Vértices
     • Radios vectores
     • Distancia focal
     • Ejes de simetría
     • Eje mayor
     • Eje menor
   • Ecuación
     • c^2 = a^2 + b^2
   • Usos en la cotidianidad

7. Parábolas

   • Definiciones
     • Lugar Geométrico de los puntos del plano
       • Equidistan
         • Punto fijo llamado foco
         • Recta fija llamada directriz
   • Elementos de la parábola
     • Foco
     • Directriz
     • Parámetro
     • Eje
     • Vértice
     • Radio Vector
   • Ecuación reducida parábola
     • Eje horizontal
       • y^2 = 2px
     • Eje Vertical
       • x^2 = 2py
   • Ecuación parábola
     • Eje horizontal
       • (y - b)^2 = 2p(x – a)
     • Eje Vertical
       • (x - a)^2 = 2p(y – b)
   • Usos en la cotidianidad

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