PROBABILIDAD Y CONTEO

PROBABILIDAD Y CONTEO

1. TECNICAS DE CONTEO

   • Supongamos que un restaurant ofrece 4 entradas, 5 platos principales y 2 postres. ¿De cuántas formas un cliente puede ordenar una comida?
     • Solucion: Se aplica el principio de multiplicación, por lo tanto hay 4 x 5 x 2 formas diferentes de ordenar una comida: 40 formas.
   • Las técnicas de conteo son herramientas que se utilizan para encontrar el número de elementos del espacio muestral de acuerdo con las características que tenga una muestra.
   • Las técnicas de conteo son una serie de métodos de probabilidad para contar el número posible de arreglos dentro de un conjunto o varios conjuntos de objetos. Estas se usan cuando realizar las cuentas de forma manual se convierte en algo complicado debido a la gran cantidad de objetos y/o variables.

2. PRINCIPIO DE MULTIPLICACIÓN

   • Paula planea ir al cine con sus amigas, y para escoger la ropa que usará, separo 3 blusas y 2 faldas. ¿De cuantas maneras se puede vestir Paula?
     • Solución: En este caso, Paula debe tomar dos decisiones: d1 = Escoger entre 3 blusas = n d2 = Escoger entre 2 faldas = m De esa forma Paula tiene n * m decisiones a tomar o maneras diferentes de vestirse. n * m = 3* 2 = 6 decisiones.
   • Si en un experimento aleatorio se tiene una población de tamaño N y una muestra de tamaño n en la cual hay orden y repetición, entonces, el número de elementos del experimento #(S) se expresa como #(S) =Nn
   • Producto cartesiano de dos conjuntos. Se llama producto cartesiano de los conjuntos A y B a un conjunto formado por pares de elementos de forma que en cada par, el primer elemento pertenece al conjunto A y el segundo elemento pertenece al conjunto B.

3. EJEMPLOS DE PROBABILIDAD Y CONTEO

   • Supongamos que un restaurant ofrece 4 entradas, 5 platos principales y 2 postres. ¿De cuántas formas un cliente puede ordenar una comida?
     • Respuesta: Se aplica el principio de multiplicación, por lo tanto hay 4 x 5 x 2 formas diferentes de ordenar una comida: 40 formas.
   • Ejemplo: Mesa de honor Se requiere acomodar a 8 personas en una mesa de honor y se le solicita que haga un listado de las diferentes formas de ordenar a las personas. Antes de aceptar la tarea decide investigar cuántas formas diferentes existen.
     • Respuesta: Se aplica la regla factorial. Para el primer puesto hay 8 opciones, para el segundo, 7, para el tercero 6, y así sucesivamente. Entonces hay 8! Formas de acomodar a las personas: 40320. (No sería sencillo tratar de hacer la lista completa).

4. CLASE DE MUESTRA

   • Dado un experimento aleatorio y una muestra de él se pueden representar dos criterios para clasificar dicha muestra que son: el orden y la repetición
     • Se dice que una muestra tiene repetición cuando para formarla se puede repetir varias veces el mismo elemento de la población.
       • Se dice que una muestra tiene orden si al conformarla es importante el orden en el que se ubiquen los elementos de la población.
   • Una muestra es una porción representativa de una determinada población. Cuando no se puede realizar un censo, se recurre al muestreo, que es la herramienta que se utiliza para determinar qué porción de la realidad se estudiará.

5. COMBINACION

   • También hay dos tipos de combinaciones (recuerda que ahora el orden no importa): Se puede repetir: como monedas en tu bolsillo (5,5,5,10,10) Sin repetición: como números de lotería (2,14,15,27,30,33)
     • EJEMPLO: sea el conjunto {A, B, C, D}, ¿cuántos grupos de dos letras diferentes se pueden formar sin tener en cuenta el orden? Si buscamos los diferente grupos, obtenemos: {A, B}, {A, C}, {A, D}, {B, C}, {B, D}, {C, D} → obtenemos 6 combinaciones diferentes Fuente: https://www.matematicas10.net/2017/06/ejemplos-de-combinaciones.html
       • SOLUCION:Para calcular el número de combinaciones podemos emplear la siguiente fórmula: donde m es el número de elementos tomados de n en n. En el ejemplo anterior m = 4 y n = 2, por lo tanto: Cmn = C42 = 4! / [2! (4-2)!] = 4! / (2! · 2!) = 4 · 3 · 2 · 1 / 4 = 6 → obtenemos el mismo resultado Fuente: https://www.matematicas10.net/2017/06/ejemplos-de-combinaciones.html
     • Combinaciones con repetición En realidad son las más difíciles de explicar, así que las dejamos para luego.
     • Combinaciones sin repetición Así funciona la lotería. Los números se eligen de uno en uno, y si tienes los números de la suerte (da igual el orden) ¡entonces has ganado! La manera más fácil de explicarlo es: imaginemos que el orden sí importa (permutaciones), después lo cambiamos para que el orden no importe.

6. PERMUTACION

   • Hay dos tipos de permutaciones: Se permite repetir: como la cerradura de arriba, podría ser "333". Sin repetición: por ejemplo los tres primeros en una carrera. No puedes quedar primero y segundo a la vez.
     • Permutaciones con repetición Son las más fáciles de calcular. Si tienes n cosas para elegir y eliges r de ellas, las permutaciones posibles son: n × n × ... (r veces) = nr (Porque hay n posibilidades para la primera elección, DESPUÉS hay n posibilidades para la segunda elección, y así.)
       • Por ejemplo en la cerradura de arriba, hay 10 números para elegir (0,1,...,9) y eliges 3 de ellos: 10 × 10 × ... (3 veces) = 103 = 1000 permutaciones
         • Así que la fórmula es simplemente: nr donde n es el número de cosas que puedes elegir, y eliges r de ellas (Se puede repetir, el orden importa)
     • Permutaciones sin repetición En este caso, se reduce el número de opciones en cada paso
       • Por ejemplo, ¿cómo podrías ordenar 16 bolas de billar? Después de elegir por ejemplo la "14" no puedes elegirla otra vez. Así que tu primera elección tiene 16 posibilidades, y tu siguiente elección tiene 15 posibilidades, después 14, 13, etc. Y el total de permutaciones sería: 16 × 15 × 14 × 13 ... = 20,922,789,888,000 Pero a lo mejor no quieres elegirlas todas, sólo 3 de ellas, así que sería solamente: 16 × 15 × 14 = 3360 Es decir, hay 3,360 maneras diferentes de elegir 3 bolas de billar de entre 16.