Conjuntos e Conjuntos Numéricos

Conjuntos e Conjuntos Numéricos

1. Conjunto A = {2, 4, 5, 10}

   • é uma coleção qualquer de objetos: B = {2, 3, 4, 7}
     • a ∈ A (a pertence a A)
     • a ∉ A (a não pertence a A)
   • pode expressar melhor uma
     • Propriedade
       • p: x é um número ímpar
     • Condição
       • c: x é um número inteiro que satisfaz a condição x² - 4 = 0
   • Igualdade de Conjuntos
     • somente quando possuem os mesmos elementos
       • a quantidade de vezes que os elementos aparecem não é importante
   • Conjunto Vazio { } ou Ø
     • não possui elementos
     • {Ø} ≠ Ø
   • Conjunto Unitário
     • formado por um único elemento
   • Conjunto Universo U
     • formado por todos os elementos com os quais estamos trabalhando em um determinado assunto
   • Subconjustos
     • A ⊂ B (A está contido em B)
       • Relações de Inclusão
         • A ⊂ A
           • Propriedade Reflexiva
         • Ø ⊂ A
           • qualquer que seja A
         • A ⊂ B e B ⊂ A, então A = B
           • Propriedade Antissimétrica
         • A ⊂ B e B ⊂ C, então A ⊂ C
           • Propriedade Transitiva
         • ∈ e ∉ são relações entre elemento e conjunto
         • ⊂ e ⊄, ⊅ e ⊃ são relações entre conjunto e conjunto
         • Implicação Lógoca
           • p ⇒ q ( p implica q)
             • sendo p propriedade dos elementos do conjunto A e q propriedade dos elementos do conjunto B, então
               • A ⊂ B
             • Recíproca de uma implicação lógica
               • q ⇒ p
                 • quando a implicação p ⇒ q e sua recíproca q ⇒ p são verdadeiras
                   • p ⇔ q (p é equivalente a q) condição necessária e suficiente
   • Conjunto das Partes P(A)
     • conjunto formado por todos os subconjuntos de A (partes de A)
       • inclui Ø
       • Se A tem n elementos então P(A) tem 2^n elementos
   • Complementar de um conjunto
     • A' = {x|x ∈ U e x ∉ A}
       • Propriedades
         • (A')' = A
         • A ⊂ B ⇒ B' ⊂ A'
   • Contrapositiva
     • p' é a negação de p e q' é a negação de q
       • p ⇒ q se, e somente se q' ⇒ p'
   • Operações entre conjuntos
     • Diferença
       • A - B = {x|x ∈ A e x ∉ B
     • Reunião ou União
       • A ∪ B = {x|x ∈ A ou x ∈ B
         • "ou" não é o de exclusão
           • quando pelo menos uma das afirmações é verdadeira
       • Número de elementos da reunião de conjuntos
         • n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B)
           • se os conjuntos são disjuntos
             • n(A ∪ B) = n(A) + n(B)
         • n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A ∩ B) - n(A ∩ C) - n( B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C)
     • Intersecção
       • A ∩ B = {x|x ∈ A e x ∈ B
     • Propriedades
       • A ∪ B = B ∪ A A ∩ B = B ∩ A
         • Comutativa
       • (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
         • Associativa
       • A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
         • Distributiva
       • A ⊂ B ⇔ A ∪ B = B ⇔ A ∩ B = A
       • A ⊂ B ⇒ (A ∪ C) ⊂ ( B ∪ C) A ⊂ B ⇒ (A ∩ C) ⊂ ( B ∩ C)
       • (A ∪ B)' = B' ∩ A' (A ∩ B)' = B' ∪ A'
         • Leis de De Morgan

2. Conjuntos numéricos

   • Conjunto dos números naturais (N)
     • N = {0, 1, 2, 3, ...}
     • N* = {1, 2, 3, 4, ...}
   • Conjunto dos números inteiros (Z)
     • Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
   • Conjunto dos números racionais (Q)
     • Q = {x|x = a/b, com a ∈ Z, b ∈ Z e b ≠ 0
       • N ⊂ Z ⊂ Q
     • Fração geratriz decimal
       • 0,75 = 75/100 = 3/4
       • N = 0,4141... 100N = 41,4141... 100N = 41 + 0,4141... 100N = 41+N
       • N = 0,17878... 10N = 1,7878 10N = 1 + 0,7878...
   • Conjunto dos números Irracionais (Ir)
     • decimais infinitos não periódicos, como π e √2
     • Número de ouro = (1 + √5) / 2
   • Conjunto dos Números Reais (R)
     • R = Q U Ir = {x|x ∈ Q ou x ∈ Ir}
     • todos os seguimentos da reta podem ser medidos
     • Desigualdade entre os números reais
       • a < b
       • a = b
       • a > b
       • a ≥ b
       • b ≤ a
   • Conjunto dos números Complexos (C)
     • z = a + bi, com a ∈ R e b ∈ R
       • i^2 = -1
       • a - parte real de z
       • b - parte imaginária de z

3. Intervalos

   • Subconjuntos de R determinados por desigualdades
     • (a,b) = {x ∈ R | a < x < b}
     • [a,b) = { x ∈ R | a ≤ x < b}
     • ]-∞,b] = { x ∈ R | x ≤ b}
   • Operações com intervalos

4. Coordenadas cartesianas

   • (a,b) -> par ordenado
   • Sistemas de eixos ortogonais
     • x - abscissar
     • y - ordenada
     • 4 quadrantes (sentido anti-horário)
   • Distância entre dois pontos
     • d(P1,P2) = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)
   • Equação de uma circunferência
     • (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2
     • Centro: O(a, b)

5. Produto Cartesiano

   • A x B = { (a,b) | a ∈ A e b ∈ B
     • conjunto de todos os pares ordenados
   • Gráfico de produto cartesiano

6. Relação binária

   • são subconjuntos de A x B
   • Domínio - D(R)
     • todos os primeiros elementos dos pares ordenados
   • Imagem - Im(R)
     • todos os segundos elementos dos pares ordenados
   • Relação Inversa
     • R^-1 = {(x,y) ∈ B x A | (y,x) ∈ R}
   • Relações definidas por certas condições entre x e y